X XIII MO- C ANALYSE DBS INFINIMENT PETITS, P Oil R I/INTELLIGENCE DES LIGNES COURSES. Par M r le Marquis DE L H o s P i T AL. SECONDE EDITION. t/ LIBRARIES , A PARIS, S^X Chez R A N 9 o i s MONTALANT a 1 entre e du Quay des Auguftins du cote du Pont S. Michel. M D C C X V I. AVEC APPROBATION ET PRIVILEGE DV ROT. /tf-7 PREFACE ANALYSE qu on explique dans cec Ouvrage , fuppofe la com mune 5 mais elle en eft fore diffe rence. L Analyfe ordinaire ne rraice que des grandeurs finies : celle-ci pe- netre jufque dans 1 infini meme. Elle compare les differences infinimenc peciccs des gran deurs finies 5 elle decouvre les rapports de ces differences : & par la elle faic connoicre ceux des grandeurs finies , qui comparers avec ccs infinimenc petics Tone comme aucanc d infi- nis. On peuc meme dire que cecce Analyle s ecend au-dela de 1 infini : car elle ne fe borne pas aux differences infinimenc pecites ; mais elle decouvre les rapporcs des differences de ces differences , ceux encore des differences troifiemes , quacriemes , & ainfi de fuite , fans trouver jamais de cerme qui la puifTe arrecer. aij iv PREFACE. De forte qu elle n embrafle pas feulcmcnt 1 infini ; mais 1 infini de 1 infini , ou unc infi nite d infinis. Unc Analyfc de cctte nature pouvoit feule nous conduire jufqu aux veritable* principes des lignes courbes. Car Ics courbes n etant que dcs polygones d une infinite de cotes , & ne dirTerant cntr ellcs que par la difference des angles que ces cotes infmiment pedts font cntr eux 5 il n appartient qu a 1 Analyfe des infiniment petits de determiner la pofition de ces cotes pour avoir la courbure qu ils for- ment, c eft-a-dire les tangentes de ces cour bes , leurs perpendiculaires, leurs points d in- flexion ou de rebrouifement, les rayons qui s y reflechiffent , ceux qui s y rompent , &c. Les polygones infcrits ou circonfcrits aux courbes , qui par la multiplication infinie dc leurs cotes, fe confondent enfin avec elles, ont etc pris de tout temps pour les courbes memes. Mais on en etoit dcmeure \\ : cc n cft que depuis la decouvcrte de TAnalyfe dont il s agit ici , que Ton a bicn fenti 1 etcnduc &L la fecondite de cettc idee. Ce que nous avons des Anciens fur ces maneres , principalement &ArchimeAe , eft afTuremcnt disne d admiradon. Mais outre PREFACE. v qu ils n ont touche qu a fort peu de courbes, qu ils n y ont meme touche que legerement j ce ne font prefque par tout que propofitions particulieres 6c fans ordre , qui ne font -aper- cevoir aucune methode reWHere &: ftiivie. v Ce n eft pas cependant qu on leur en puille faire un rcproche legitime : ils ont cu befoin d une extreme force de genie* pour percer a travers tant d obfcurites , &c pour entrer les premiers dans des pa is entierementinconnus. "/</ . C>-i > >\ } u fitbt -l JJlma b ils n ont pas ete loin, s ils ont marcne par dmnflratw- de longs circuits ; du moms , quoi qu en dife """ de fP lr "- rr- -i r r / / I tangenti- T Yiettc, ils ne ie font point egares : &C plus ^ amficium les chemins qu ils onttenus ccoient difficiles ^ST J"^ ^ Cjnttfft latfiffl j 8cepineux, plus ils font admirablesde ne s y ; ngtr lH ef*tcb<,r, A IT- -1 A 1* earum con- etre pas perdus. En un mot il ne paroit pas tcnif u time ita que les Anciens en ayent pu faire davantao;e cmw w<r j^ , . , > . , ?J fcritpttlus pour leur temps : ils ont rait ce que nos bons a ,im a femper efprits auroient fait en leur place ; 8c s ils hfnnt ^ m ^- / \ A \ j i " s demonftra- ctoient a la notre , il eft a croire qu ils au- */ w roient les mcmes vues que nous. Tout cela J^ j^ f " eft une fuite de 1 egalite naturelle des efprits BuiiiaWus >C de la fucceffion necclTaire des decouvertes. ne , s fpi ra iil Ainfi il n eft pas furprenant que les An- bus - ciens n ayent pas ete plus loin j mais on ne t^w^- r- , rf-, \ , . . . chirnedes , fit!, i^auroit alles s etonner que de grands horn- i M \ ter con di,f,t mes, & fans doute d aufll grands homines ^ did "-^- O .; Suppl. Geom. a lij vj PREFACE. que les Anciens, en foient fi long- temps de ntures la; 6que par une admiration prefque fuperftitieufe pour Icurs ouvrages, ils ie foient contentes de les lire & de les commenter, fans fe permettre d autre ufage de leurs lumieres , que ce qu il en falloit pour les fuivre ; fans ofer commettre le crime de penfer quelquefois par eux-memes , & de porter leur vue au dela de ce que les Anciens avoicnt decouvcrt. De cette maniere bien des gens travailloient , ils o^ * ecrivoient, les Livres (e multiplioient , 6\^ cependant rien n avancoit : tous les travaux de pluiieurs fiecles n ont abouti qu a remplir le monde de refpecliueux commentaires & de tradudions repetees d originaux (ouvent alfe s meprifables. Tel fut Tetat des Mathematiques , &: fur tout de la Philofbphie , jufqu a M. De [cartes. Ce grand homme pouffe par fon genie 6C par la fuperiorite qu il fe fentoit , quicta les An ciens pour ne fuivre que cette mcme raifon que les Anciens avoient fuivie 5 &; cette heu- reufe hardieiTe,qui fut traitee de revoke, nous valut une infinite de vue s nouvelles &: utiles iiir la Phyfique & fur la Geometric. Alors on ouvrit les yeux, & Ton s avifa de penfer. Pour ne parler que des Mathematiques , Lib. 7. initio. PREFACE. vij dont il eft feulement ici queftion, M. Defcartes commenca ou les Anciens avoient fini , &. il debuta par la folution d un Probleme ou Pappttf dit * qu ils etoient tous demeures. On * cdhft. fcait jufqu ou il a porte 1 Analyfe & la Geo metric, &; combien 1 alliage qu il en a fait, rend facile la folution d une infinite dc Pro- blemes qui paroiilbient impenetrables avant lui. Mais comme il s appliquoit principale- ment a la refolution des egalites , il ne fit d at- tention aux courbesqu autant qu elles lui pou- voient fervir a en trouver les racines : de forte que 1 Analyfe ordinaire lui fuffifant pour cela, il ne s avifa point d en chercher d autre. II n a pourtant pas lailfe de s en fervir heureufe- ment dans la recherche des tangentes 5 & la Methode qu il decouvrit pour cela , lui parut fi belle , qu il ne fit point de difficulte de dire , *que ce Probleme etoit le plus utile & le p/ttr general , non feulement qitdfcut, mais meme qitil eut jamais defire dejcavoir en Geometric. Commc la Geometric de M. Dejcartes avoit mis la conftrudion des Problemes par la refb- Jution des e galites fort a la mode , & qu elle avoit donne de grandes ouvercures pour cela ; la plupart des Geometres s y appliquerent , ils y firent aufll de nouvelles decouvertes } qui * Gcamtt. Liv. i. viij PREFACE. s augmentent 8c fc perfectionncnt encore tous les jours. Pour M. Pafehal 3 i\ rourna fes vues de tout un autre cote : il examina les courbes en clles- memes , 8t fous la forme de polygonc } il re- chercha les longueurs dequelques-uneSji et pace qu elles renferment , le folide quc ces cfpaces decrivent , les centres de gravite des unes 8c des autres, &c. Et par la confldera- tion feule de Icurs elemens , c cft-a-dire des infiniment petits , il decouvrit des Methodes generales 6c d autant plusfurprenantes, qu il ne paroit y etre arrive qu a force de tete &; fans analyfe. Peu de temps apres la publication dc la Methode de M. Def cartes pour les tangentes, M. de Fermat en trouva aufli une, que M. *Lett. 71. X)e (cartes a cnfin avoue * lui-meme etrc plus Tom - r i t j i r- r timple en bicn des rencontres quc la fienne. II eft pourtant vrai qu elle n etoit pas encore auffi limple que M. Barrow 1 a rendue depuis en confiderant de plus pres la nature des poly- gones, qui pretente naturellement a I efprit un petit triangle fait d unc particulede courbe^ comprife entre deux appliquees infiniaicnt proches , de la difference dc ces deux appli quees , & de celle des coupees correfpondan- tcss PREFACE. fx res ; & ce triangle eft femblable a celui qui fe dole former de la tangcnte , de I appliquee , &; de la foutangente : de force que par une fimple Analogic cette dernierc Methode epar- gne tout le calcul que demande celle de M. Defcartes & que cette Methode , elle-meme, demandoit auparavant. M. Barro\v *n en demeura pas la, il inventa * Leti. Ge. aufli unc efpece de calcul propre acetre Me thode ; mais il lui falloit , aufll-bien que dans celle de M. Defcartes , oter les fractions , & faire evanouir tous les fignes radicaux pour s en fervir. Au defaut de ce calcul eft furvenu celui du celebre*M. Leibni* j & ce fcavant Geome- * -J8* tre a commence ou M. Barro\v & les autres < avoientfini. Son calcul 1 a menedans des pa i s ? jufqu ici inconnus 5 6c il y a fait des decou- vertes qui font 1 econnement des plus habiles Mathemaciciens de 1 Europe. M"ernottlli ont ere les premiers qui fe font aper^us de la beaute de ce calcul : ils 1 onc porte a un point qui les a mis en etat de furmonter des diffi- cultes qu on n auroit jamais ofc tenter aupa- ravant. L etendue de ce calcul eft immenfe : il con- vient auxcourbes mecaniques , com me aux b x PREFACE. geometriques 5 Ics fignes radicaux lui font in- differens ; &C meme fouvcnt commodes j il s etend a cant d indeterminees qu on voudra -, la comparaifon des infiniment petics de tous Ics genres lui eft egalement facile. Et de la naiffcnt une infinite de decouvertes furpre- nantes par rapport aux tangentes tant cour- bes que droites , aux queftions De maximis & minimu , aux points d inflexion g de re- broufTement des courbes, aux developees , aux cauftiques par reflexion ou par refraction, Sec. comme on le verra dans cet Ouvrage. Je le divife en dix Sections. La premiere contient les principes du calcul des diflferen- ces. La feconde fait voir de quelle maniere Ton s cn doit fervir pour trouver les tangen tes de toutcs fortes de couibcs , quclque nora- bre d indetcrminees qu il y ait dans { equation i l es exprimc , qupique M. Craiqe * n ait rum curvii:- A , , A > / , a. pas cru qu il put s cccndre julqu aux courbes qua. dntims, mecaniques ou tranfcendances. La troifieme, comment il fert a refoudre toutes les queftions De maximis & minimis. La quatrieme, com ment il donne les points d inflexion & dc re- broufTement des courbes. La cinquieme en dccouvre 1 ufage pour trouver les developees de M. Hugens, dans toutes fortes de courbes. PREFACE. xj La fixieme & la feptieme font voir comment il donne les cauftiques ,tant par reflexion que par refraction , dont 1 illuftre M. Tfckirnbata eft 1 inventeur , 6c pour toutes fortes de cour- bes encore. La huitieme en fait voir encore 1 ufage pour trouver les points des lignes cour- bes qui touchent une infinite de lignes don- nees de position, droites ou courbes. La neu- vieme contient la folution de quclques Pro- blemes qui dependent des decouvertes prece- dentes. Et la dixieme confiite dans une nou- velle maniere de fe fervir du calcul des diffe rences pour les courbes geometriques : d ou Ton deduit la Mcthode de M >s Defcartes &c Httdde > laquelle ne convient qu a ces fortes de courbes. Il eft a remarquer que dans les Sections z, j , 4 j j , 6 , 7, 8 , il n y a que tres peu de pro- pofitions i mais elles font toutes generates , &c comme autant de Methodes dont il eft aife de faire { application a tant de propofitions particulieres qu on voudra : je la fais feule- raent fur quelques exemples choifis , perfuade qu en fait de Machemacique il n y a aprofiter que dans les Methodes , & que les Livres qui ne confiftent qu en detail ou en propofitions particulieres , ne font bons qu a faire perdre xij PREFACE. du temps a ceux qui les font, & a ceux qui les liient. Auflin ai-je ajoute les Problemes de la Sedion neuvieme, que parcequ ils paf- fent pour curieux, &qu ils font tresuniver- fcls. Dans la dixieme Sedion ce ne font en core que des Methodes que le calcul des dif ferences donne a la maniere de M rs Defcartes &; Httddet 8 fi elles font fi limitees , on voit par toutes les precedentes que ce n etl pas un defaut de ce calcul, mais de la Methode Car- tefienne a laquelle on 1 aflujettit. Au contraire rien ne prouve mieux 1 ufage immcnfe de ce calcul , que toute cette variete de Methodes j &C pour peu d attention qu on y faffe , Ton verra qu il tire tout ce qu on peut tirer de celle de M rs Defcartes &: Hudde , 6i que la preuve uniyerfelle qu il donne de 1 ufage qu on y fait des progreflions arithmetiques, ne laifle plus rien a fouhaiter pour 1 infailli- bilite de cette derniere Methode. J avois deffein d y ajouter encore une Sedion pour faire (entir aufll le merveilleux ufage de ce calcul dans la Phyfique, jufqu a quel point de precilion il la peut porter , &C combien les Mecaniques en peuvent retirer d utilite. Mais une maladie m en a empeche : PREFACE. xii Le public n y perdra pourtant rien , &L il 1 aura quelque jour meme avec ufure. Dans tout cela il n y a encore que la pre miere parcie du calculde M. Leibnis, laquelle confide a defcendre des grandeurs enderes a leurs differences infinimentpetites, & a com parer entr eux ces infiniment petits de quel- que genre qu ils foienc : c eft ce qu on appclle Calcul differentiel. Pour 1 autre partie , qu on appelle Calcul integral, &t qui confifte a re- monter de ces infiniment petics aux gran deurs ou aux touts done ils font les differen ces , c eft- a- dire a en trouver les fommes, j avois aufTi defTein de le dormer. Mais M. Leibnis m ayant ecrit qu il y travailloit: dans un Traite qu il intitule De Stientia. infiniti t je n ai eu garde de priver le public d un fi bel Ouvrage qui doit renfermer tout ce qu il y a de plus curieux pour la Methode inverfe des tangentes , pour les rectifications des courbes, pour la quadrature des efpaces qu elles rcn- ferment , pour celles des furfaces des corps qu elles decrivent , pour la dimenfion de ces corps , pour la decouvertedcs centres de gra- vite , &c. Je ne rends meme ceci public , que parcequ il m en a prie par fes Lettres , & que je le crois necctfaire pour preparer les efprits xiv PREFACE. a comprendre tout ce qu on pourra decouvrir dans la fuite fur ces matieres. Au refte je reconnois devoir beaucoup aux lumieres de M rs Bernoulli , fur tout a celles du jeune prefenteracnt Profefleur a Groninguc. Je me fuis fervi fans facon de leurs decouver- tes & de celles de M. Lci ffnis. C eft pourquoi je conlens qu iis en revendiquent tout ce qu il leur plaira , me contentanc de ce qu iis vou- drone bien me laiiTer. C eft encore une jnftice due au f^avant M. Neuwton, &C que M. Leibnis lui a rendue*lui- dts Seavtm A ^ ,-\ rr > \ if 50 Aouft meme : Qu n avoir aulli trouve quclque chole de fcinblable au calcul diflferentiel , comme il paroic par Fexcellent Livre intitule Philo/o- vbia naturalis principia Mathsmatica , qu il nous donna en 1687, lequel eft prefque tout de ce calcul, Mais la Caracteriilique de M. Leibnis rend le n en beaucoup plus facile Sc plus expeditif 3 outre qu elle eft d*un fecours mcrveilleux en bicn des rencontres. Comme Ton imprimoit la derniere feliille de ce Traite , le Livre de M. Nieuwentiit m eft tombe entre les mains. Son titre , Analyfis infmitorum , m a donne la curiofite de le par- courir : mais j ai trouve qu il etoit fort diffe rent de celui-ci 5 car outre que ccc Auteur PREFACE. xv ne fe fere point dc la Caracteriftique cie M. Leibnis , il rcjctce abfblument les differences fecondes , troifiemcs , &c. Comme j ai bad la meilleure parcie dc cctOuvrage fur ce fonde- ment, je me croirois oblige de repondre a fes objections , &: de faire voir combien elles font pea folides , fi M. Leibnis n y avoit deja plei- nement fatisfait dans les Ades * de Leypfick. D ailleurs les deux demandcsou fuppofitions que j ai fakes au commencement de ce Trai- te, &c fur lefquclles feules il eft appuye , me paroifTent fi evidentes , que je ne crois pas qu ellcs puiflent laiffer aucun doute dans Tefprit dcs Lecteurs attentifs. Je les aurois meme pu demontrer facilement a la maniere des Anciens, fi je ne me fufle propofe d etre court fur les chofes qui font deja connues , &C de m attacher principalement a celles qui font nouveiles. TABLE. SECTION I. Ovl on donne les Regies du calcul des dif ferences , P a & e r SECT. II. Ufage du calcul des differences pour trouper les tanventes dc toutes fortes de Iwnes ci J O courses } 1 1 S E C T. 1 1 1. *Uf*ge du calcul des differences pour trouver les plus grandes & les moindres appli- (juees , off fe reduifent les auctions DC maximis & mininiis, 41 SECT. IV. IJfdge du calcul des differences four trouper les points d inflexion & de relroufje- ment , jj SECT. V. "U fare 1 du-c*lcttl des differences four tr Oliver les developees } 7 1 SECT. VI. fJfage du calcul des differences pour trou ver les canfliques par reflexion 3 104 S E C T . VI I. Ufage du calcul des differences pour trou ver Its cauftiques par re/racTion., n o SECT. VIII. IJfdve du cedculd.es differences pour trouiier les points des lignes courses qui touchent tine infinite de I gnes donnees de Volition, droites OH courses s 151 SECT. IX. Solution de quelaues Prollemes aui depen dent des Adetkodes precedent es , 145 SECT. X. Nouvelle manisre defeferi ir du calcul des differences dans les courhesgeometriaues, d ou ion dedtiit la, Metbode de Ai Defcartes & Hudde, 164 ANALYSE ANALYSE DES INFINIMENT PETITS- PREMIERE PARTI E. DU CALCUL DES DIFFERENCES. SECTION PREMIERE. O I on donne les regies de ce Calcul. D E F I N I T I O N I. N appelle quantices variables celles qui ugmentenc ou diminuent continueile- nenc ; 8c au contrairc quantites conftantes elles qui demeurent les racmes pendant lue les autres changenc Ainfi dans unc ;>arabo!e les appliquees &: les conpees font des quantices variables, au lieu que le parametre eft une quantite conftante. A z ANALYSE DEFINITION II. La portion infiniment petite dont une quantite variable augmente ou diminue continuellement, en eft appellee la FIG. i. Difference. Soit par exemple unelignecourbe quelconque AMB,<\u\ ait pour axe ou diametre la ligne^C, &pour une de fesappliquees ladroice PM -> & foit une autreap- pliquee nm infiniment proche de la premiere. Celapole, (\ Ton mene MR parallele a AC > les cordes AM. , Am; &qu on decrive dn centred, de 1 intervalle^Af le petit arc de cercle MS -. Pf (era la difference de AP, Rm celle de PM, Sm celle de AM , & Mm celle de Tare AM. De meme le petit triangle MAm qui a pour b.ife 1 arc Mm, fer.: la difference du fegment AM ; & le petit efpace MPpm, celie de I efpace compris par les droites AP> PM , Sc par 1 arc AM. CoROLLAI RE. I- IL eft evident que la difference d une quantite conftan. teeftnulleou zero: on (ceaui eftlamemechofe) que les quantites conftantes n ont point de difference. AVERT:SSEMENT. On fc [ervira d>ms la fitite de Lt note ou caraclcriftique d pour marqucr l.i differenced une quantite -variable que I on ex- frime far une feulc lettre , &poureviter la confujion, cctte note d riaura point cCautre #Ag? dans la fuite de ce calcul. Si l".n nom- mc par exemple les variables AP,,X;PM,y;AM,Z; tare AM,u ; r efface mixtitigne&PM,s ; &le figment AM, t :dx exprimerj la valetirde Pp , dy celle de Km, dzcellede Sm , du celle du petit arc Mm , ds celle du -petit efface MPpm, ( dt celle du petit triangle mixtiligne MAm. I. DEMANDB ou SUPPOSITION. 2--C3N dcmande qu on puifTe prendre indifFeremment 1 une pour 1 autre deux quantites qui ne different entr eilcs que d une quantite infiniment petite : ou (ce qui eft la meme DES INFINIMENT PETIT s. /. Part. 3 chofe ) qu une quantite qui n eft augmentce ou diminue e que d une autre quantite infiniment moindre qu elle, puif- fe etre confideree comme demeurant la meme. On de- mande par exemplc qu on puiffe prendre Af pour^/*, /wpour PM, 1 efpace Afm pour 1 efpace APM, le petit efpace MPpmpaur le petit re&angle MPfR , le petit fe- deur AMm pour le petit triangle AMS , Tangle pAm pour Tangle PAM, &c. II. DEMANDE ou SUPPOSITION. 3- ON demande qu une ligne courbe puifle etre confi deree comme 1 aflemblage d une infinite de lignes droites, chacune infiniment petite :ou fee qui eft la meme chofe) comme un poligone d un nombre infini de cotes, chacun infiniment petit, lefquelsde terminentpar les angles qu ils font entr eux , la courbure de la ligne. On demande par exemple que la portion de courbe Mm & Tare de cercle MS puiflent etre confide rei comme des lignes droites a caufe de Icur infinie petirefle, en forte quele petit triangle mSM pnilTe etre cenfe redihgne. AvERTISSEMENT. On fuppofe ordinaircme nttians la fuitc que Ics dcrnieres lettres de F alphabet, z, y, x, &c. marquent dcs quantite s variables J &au cotitrairequc Ics premieres a, b, c, &c. marqucntdes quan tite s conft antes : dc forte que x devenant x -t- dx ; y, z, &c. dc-viennent y -t- d y,z -t- d z, &c. * /-a,b,c, &c.demeurent * Art. i. les memcs a , b , c , &c. PROPOSITION I. Probleme. 4* 1. It E N D R. E /<z difference de plujteurs quant ites ajoutees enfemble , ou fouftraites les unes dcs autres, Soit^ -t- x *- y 2^dont il faut prendre la difference. Si Ton fuppofe que xfoit augmente e d une portion infini ment petite j c eft a dire qu elle devienne x + dx ; y de- Aij J ANALYSE , demeurera la meme a de force que la quantite propo- fe e a-*- x + y 5 deviendra.* -t- x-*- d x-+-y-*-dy ^ ctzj &fa difference, que Ton trouvera en la retranchanc de cectederniere, fera dx-*-dy d%. II en eft ainfi des autres j ce qui donne cecte regie. R E G L E I. Pour les quantite 3 ajouteis, on fouftraites. On prendra la difference de chaque terme de la quan- tire propofee , & retenant les memes fignes, on en com- poferaune autre quantite qui fera la difference cherchee. PROPOSITION II. Probleme. $ 1.R.ENDR.E la difference ei un produit fait de flufieurs gttantitfS multiplied les unes far les autres. i. La difference de xy e&ydx -t- jcdy. Carj devienc y + dy lors que x devienc x -t- dx; &c parcanc xy de- vientalors xy -+ ydx + xdy -t- dxdy, qui eft Ie pro duit de x -t- dx parj -t- dy, & fa difference fera ydx -\- xdy + dxdy , c efta dire*^ dx-+- xdy : puifque^x<^y eft unc quantite infiniment petite par rapport aux autres tennes^AT , 6c xdy ; car fi Ton divife par exemple ydx 6c dxdy par dx , on trouve d une part^, & de 1 autre dy qui en eft la difference, & par confequent infinimenc moindre qu elle. D oi\ il fuit que la difference du pro- duit de deux quantites eft egafe au produit de la diffe rence de la premiere de ces quantites par la feconde, plus au produit de la difference de la feconde par la pre miere. 1. La difference de xyz^efaygjlx -- xzjly -+ xyd%. Car en confide rantleproduitxycomme une feulequanti- te, il faudra, comme 1 on vientdeprouver, prendrele pro duit de fa difference^.* + xdy par la feconde 2^ ( ce qui -*~xt(dy) plus le produit de la difference d^ DES INFINIMENT PITITS. /. Partle. de la feconde ^.par la premiere xy ( ce qui donne x^ & partant la difference de xyz^ fera yz^dx -t- x +- xydz^ 3. La difference de xyz.it eft uyzjlx -+- ux^dy Ic xygjiu. Ce qui fe prouve comme dans cas precedent en regardant le produit xyz^ comme unc feu lequantite.il en eft ainfi des autres a rinfini , d oul on forme cette regie. R E G L E II. Pour la quantites multiplies}. La. difference du produit de plufieurs quantites multi- plieesles unes paries autres, eft egale alafommedespro- duits de la difference de chacune de ces quantites par le produit des autres. Ainfi la difference de ax eft x o + adx, c eft a dire adx. Celle de a -t- x x b y&bdx ydx ady xdy. PROPOSITION III. Probleme. 6- IRENDRE/^ difference d une frattion quelconqus, La difference de ^ eft yd * ~/ Jy . Car fuppofant j- = <, on aura x = y z^, 6c comme ces deux quantites varia bles x&y z^ doivent toujours etre egales entr elles, fbic qu elles augmentent ou diminuent, il s enfuit que leur difference, c eft d dire leurs accroiffemensou diminutions feront auili egales entr elles 5 & partant * on aura dx =yd^ -t- *dy % ^.d^=^~^LL l^L=^ en mettanc pour ^ fa valeur ~ . Ce qu il falloit , &c. d ou Ton forme cctte regie. REGLE III. Pour les quantites divifies , ou four les fraftions. La difFe rence d une fraction quelconcjue eft egale an A iij 6 ANALYSE produitde la difference du numerateur par le denomina- teur, moins le produit de la different e du de nominaceur par le numerateur : le tout divife par le quarre du de- nominateur. Ainfi la difference de *- fera =-^ , celle de - fera 14JS+XX PROPOSITION IV. Probleme. 7- IRENDRE/^ difference funefuiffance quelconque far- fiiite ou imfarfaitf d une quantite variable. II eft ne celTaire afin de donner une regie gencrale qui ferve pour les puifiances parfaices & imparfaices, d expli- quer [ analogic qui fe rencontre entre leurs expofans. Si 1 onpropofe uneprogredion geometriquedontle pre mier terme foit 1 unitc , & le fecond tine quantite quel conque AT, &qu on difpofe par ordre fous chaque terme fon expofant, il eft clair que ces expofans formeront une progreflion arithmetique. Prog. geom. i, x, xx, x\ **, x\ x", x 7 , &c. Prog.anth. o, i, 2, ;, 4, /, *, 7, &cc. Et fi Ton continue la progreflion geometrique au def- fous de 1 unite , & 1 aritnmetique au deflbtis de zero , les termes de celle- ci feront les expofans de ceux aufquels ils respondent dans 1 autre. Ainfi /eft 1 expofant de j-, 2 celuide^-, &c. Prog. geom. /, /, i, L. t $ , i , &c. Prog, arirh. s, o, /, 2, /, ^,&c. Mais fi Ton introduit queique nouveau terme dans la progreflion geometrique, il faudra pour avoir fon expo fant, en introduire un femblable dans 1 arithmetique. Ainfi Vx aura pour expofant j- : tyx, j: Vx 4 , ^ : ^ 3 -^ jTxi 7" v^ > i:^c.de forte que ces expre/I DES I N F r N i M E N T PETIT s. 1. P<*rt. 7 fions Vx & *s fa & xf , fa* & *T, ^TT 5c x T, ficc. nc fignifient que la meme chofe. Prog. geom. s, Vx, x. i> ^x, fax, x. /, fa, fax, fa*, fa 4 , x. Prog, arith. o, 7., /. o, y_, - , i.o, 7 , j, 7 > 7, * Prog. geom. ^^ ~. ~ y ^/Jr, fit y ** "^, W, ^ Prog, arith. j;^, 2. /, 7, 7^ 2. ^, f^ 4. Oul on voirque de meme que Vx eft moyenne geome- trique entre z 6c x, de meme auffi- eft moyenne arith- metique encre leurs expofans zero &/.-&: de meme que ^x eft la premiere desdeux moyennesgeome rriquemenc proporcionneiles entre i & x, de meme auffi - eft la pre miere des deux moyennes arithmeciquemenc proporcion neiles enrre leurs expofans zero 6cy .- & ilen eft ainli des autres. Or il ink dela nature de ces deux progreffians i. Qiie la iomme des expofans de deux termes quel- conques de la progrefikmgeomecrique fera 1 expofant du terme qui en eft le produit. Ainfi x 4 * ou x 7 eft lepro- 1 i i. duit de x 1 par x\ &: .v" 1 " 1 " ou x^ eft le produit de ;;- I _ J. _._ i _ i .- 1. - 1 parx j&x 5 JDUX " eft le produit de x par i j _i_ i. ^ i x>,&c. De meme x f ou xl eft le produit de x par lui-meme, c eft a dire fon quarre , 2c x" 1 " 1 "" 1 * 1 ou x s eft le produit de X 1 par A: par.* 1 , c eft a dire fon cube, i i i i ^ jt &x " i " ou x eft la quatrieme puiflance i de x , & il en eft ainfi des autres puiffances. D ou il eft evident que le double, le triple, &c. de 1 expofant d un terme quelconque de la progreffion geometrique eft 1 ex pofant du quarre, du cube, cc. de ce terme 5 & partanc que la moitie , le tiers , &c. de 1 expofant d un terme quel conque de la progrellion geometrique fera 1 expofant de la racine quarree, cubique, Scc. de ce terme. 1. Que la difference des expofans de deux rerme? quel- conques de la progreffion geometrique fera 1 expofant du 8 ANALYSE , quotient de la divifion de ces termcs. Ainfi x* ? = x^ fera 1 expofant du quotient de la divifion de i i j_ 2 * r par *s , &x * = x fera 1 expofant du quo tient de la divifion de x ^ p ar ^?. } oul on voit que c eft la meme chofe de multiplier x T par x * que de di- __ i^ i_ viler x 3 par x*. II en eft ainfi des autres. Ceci bien entendu, il pent arriver deux differens cas. Premier cas, lorfque lapuiflance eftparfaite, c eft a dire lorfque fon expofant eft un nombre entier. La difference de xx eft.2xdx , de x 1 eft jxxdx, de x* eft ^dx , &c. Car le quarre dex n etant aucre chofe que le produitdexpar x, fadifFerence*feraWx-t-Wx J c eftadire 2xdx. De me me le cube de x n e tanc autre chole que le produit de x par x par AT, fa difference * (eraxxdx -t~ xxdx-t-xxdx^ c eft a dire jxxdx jSccomme il en eft ainfi des autres puiflances a 1 infini, il s enfuic que fi. 1 on fuppofe que m marque un nombre encier telquel on voudra, la difference de A; fera mx m - dx. Si 1 expofant eft ne gatif, on trouvera que la difference de x~ m ou de -r; fera r^li^ = _ mx ~ m - >dx. x x * * Second cas , lorfque la puiilance eft imparfaite , c eft a dire lorfque fon expofant eft un nombre rompu. Soitpro- m pofe de prendre ladifFerencedey / A; m ou ^""(^exprime un nombre rompu quelconque ) on fuppofera x~* = z elevunt chaque membre a la puiflance n on aura x m = s , & en prenantles differences comme 1 onvientd expliquer dans le premier cas, on trouvera mx m ~ l dx = n~ 1 dz^, m mettant a la place dear" 1 favaleur nx m ~. Si 1 expo- m fant eft ne gatif, on trouvera que la difference de x ~ oude -k feraZllf = ~x K </AT. in* /- jc n .."; Ce DES INFINIMENT PETIT s. 1. Part, 9 Ce quidonne cecre regie generate. R E G t E IV. Pour les Pitijjances farfaites OK imfarfaites. La difference d une puiflance quelconque parfaite on imparfaite d une quantite variable, eft egale au produit de 1 expofant de cecte puiflance, par cette meme quantite e leveeaunepuilTance moindre d une unite, &: multipliee par (a difference. Ainfi fil on fuppofe que;# exprime tel nombre cntier on rompu que Ton voudra,foit pofitif, foit ne gadf, Stx une quantite variable queiconque, la difference de x a fera tou jours mx m ~*dx. EXE MPLES. La difference du cube de ay xx, c eft a dire de ay xx , eft j x ay x x x ady 2 x d x = $a yydy 6 aax xy dy -+- % ax^dy 6a.ayyxdx -*- izayifdx 6x<dx. __ _ ______ i La difference de V X y +- y y on de xy + yy Y , eft __ _ _ \* xy-*-yy l xydx -*-xdy-+- zydy, ou e.x. a +- axyy l - ayy dx-tri* xyjy ,-,.,, , - xavvdx-*-2axvdy, ou -- , ~ v^eJJe de Vax + xx, ^y a* -- .t x y y __ _ ou cic ax -4- xx*, eft ~ x ax -t- xx * x W* H- ^Wx, ou a (t v -4- i x d x La difference de Va x + x x + V a* -+ ^ xyy on de ^^ -4- xx -*- V^ 4 -i- rfxw % eft - x ^ATH- xx-t- \/ a*-*- axyy x adx + zxdx + " -* j ou ayydx -+- mxydy H = lyV* ^- axyy X lXA; -*- ATX rj- ^4* ^- A;^ B * Art. 1. irt - 10 ANALYSE La difFerence de y ~ - fera felon cecte regle*& celle - Y - yl -J^L?!_+;yy des fradions E. R E M A B. o. I L ell a propos de bien rem.irqucr quc Ton a tou- jours fuppofe en prenant les differences, qa une des va riables x croiflant, les autres^ , ^ &c. croifloienc aulTi; c eft a dire que lesx devenanc x -t- dx , Icsj/, ^, &c. de- venoienc^ -+- ^y, z^-*-dz^ &c. C cft pourquoi s il arrive que quelques lines diminuenc pendant que les autrescroif- fent, il en faudraregarder les difFercnces comme des quan- tires negatives par rapport a celles des autrcs qu on fuppo fe croirre , & changer par confequent les fignes des termes ou les differences decelies qui diminuenc (e rencontrent. Ainfi fi Ton fuppofe que les x croillant, lesj & les ^ di- minuent, c eft a dire que lesx devenancx -+- dx, les y & les ^deviennent y dy & z^ dz^, & que Ton veuille prendre la difFerence du produir xyzj il faudra changer clans la difFerence xydz^ -+- x^dy -*- yzx trouvee *, les fi- gncs des rcrrncs ou dy 6i ^fe rencontrenr : ce qui donne yz.dx xyd^ x^/ypour la difference clierchee. DES INFINIMENT P E T i T s. 1. Part. n SECTION II. f du calcul des differences pour trouper les Tangentes de routes jortes dc li?ncs ccm-bes. D E F i N i T i o N. SI Ton prolonge un des petirs cotes Mm du poligone FIG. i. qui compofe*une lignc courbe > ce petit cote amfi * Art.!- prolonge fera appelle la Tangcnte de la courbe au point M ou m. PROPOSITION I. Probleme. 9- O O i T tine ligne conrbc AM telle quchi relation de la c ou- Fie. 3. fee A P a I afpliqtiee P M ,foit exprintlefar unc equation qucl- conque, & quil faille du point donne M fur cette courbe mener la tangent c MT. Ayant mene 1 applique e MP, & fuppofe qne la droite A/T qui rencontre lediametre au point 7",foit la tangente cherche e ; on concevra une autre applique e mp infirji- mentprochede la premiere, avecune petite droite MR pa- rallelea^/ . Eten nommant lesdonne es AP, x; P1M, y) (done />pouMR = ilx,&. Rm = dy. } les triangles fem- !). RM(dx::MP (y}. PT= d ~- Or par le moyen de la difference de 1 e- qnation donne e, on trouvera une valeur dcdx en termes qui feront tous affedes par dy , laquelle ctant piulcipliee pary & divifee par dy , donnera une valeur de la foutan- gente/ J en termes entie ren.entconnus&dclivre s des dif ferences, laquelle fervira a mener la tangente cherche e MT. R E M A R QJJ E. Io> LORSQUE le points" tombe du cote oppofe au point A origine des x , il eft clair que x croiffant, y dimi- FIG. 4, Bij II A N A t Y S E *dft.S. nue,&qu ilfautclianger par confec]uent*dans la differen ce de 1 equation donnee les fignes de cons Jes termes cm dy fe rencontre : autremenr la valeur de i/.ven^yferoic nega tive-, & partant auffi celle de PT(-~}. Heft mieuxce- pendanr, pour ne/epointembaraffer, deprendre toujours la difference de 1 equation donnee par les regies que Ton * Sell- i. a prefcrir.es * fans y rien changer ; car s il arrive a la fin de 1 operationque Ia valeur de / J"foit pofitive, il s enfuivra qu i! faudraprendre le point 7"du meme cote que le point A originedes.*, commel onafuppofe en faifanc lecalcnl: &au contraire Ci elle eft negative, il le faudra prendre du cote oppo/c. Ceci s e claircira par les exemples fuivans. EXEMPLE I. I IG. 5. II. i -JJ! l on yeut que ax ~yy cxprime la relation de ^Pl PMi la courbe AM fera une parabole qui aura pour parametre la droite donnee ^z, Scl on aura en prenant de part Sc d autre les differences, adx =zydy, 5i dx = ^ 6 PT ( y -/} = = zx en mcttant pour yy fa valetir^.v. D ou ii fuicque (i Ton prcnd / / double d.tAP, & qu on meneladroiteAfT*, elie fcratangente au point M. Cequi etoit propofe. FIG. 4, j.o_ 5 o i c [ equation aa = xy qui exprime la nature de Thyperbole entre les afymptor.es. On aura en prenant les differences xdy -i-ydx = o, &: partant PT ^~/) x. D oii ilfuit que fi l on prend PT Z Wducote oppofeau point A.&. qu on menela droite MT, eileferala tangente en M. 3. Soit 1 e quation ge ne rale^ m =A:qui exprime la na ture de toutes les paraboles a 1 mfini lorfque 1 expofant m marque un nombre pofitif entier on rompu, & de toures les hyperboles lorfqu il marque un nombre negati On aura en prenant les differences iny~ l dy =^ dx , & partanc PT ( y -j~) = my=.mx en mettant pour ^ m fa valeur x CES INFINIMENT PETIT s. /. Part. 13 Siz = ^- J 1 equation feray = axx qui exprime la nature d une des paraboles cubiques, & la foutangente PT = L x. Si m = 2 , 1 equation fera # = xj^y qui exprime la nacure del une des hyperboles cubiques, & la foutangente / T* 2*. II en eft ainfi des aucres. Pour mener dans les paraboles la tangente au point A origine des x, il faut chercher quelle doit etre la raifon de dx a dyen ce- point ; car il eft vifible que cette raifon etant connue, Tangle que la tangente fait avec 1 axe ou le diametre fcra auffi determine. On a dans cet exemple dx . dy : : my m "\ i. D ou Ton voit quej etant zero en A, la railon de dy a dx doit y etre infinimenc s^rande lorfque m furpaffe /, & infinimenc petite lorfqn elle eft moindre : c eft a dire que la tangente en A doit etre parallele a us appliqudes dans le premier cas, 6c fe confondre avec le diametre dans le fecond. EXEMPLE II. !! SOIT une ligne courbe AMB telle que^/>x T ^ ( X x<i^I)rpfiI fry):: 4?, (a).A D (b). Donc*jj-=*x xx, &en prenant les differences,-^ ^ = adx zxdx , d ou I on tire PT(>%) =^=-^^> en met- tant pour --J? fa valeur ax xx > &2>T A P ou AT _ , _ .. _ i _ , Stippofant aprefentque AP *PB (x xa x).PM 1 ) : : AB (>L) AD (o) , on aura * * x It x ~ , Si en prenant les differences ----^- y - = ^ .v x d x y. a x ~" " i --- " - ^ 1* \ ti y&X zadx +2xdx x x\ d ou 1 on tire ;/.;- e jf jx ix . .v^ - j __ _J."x_ .t } ;x* Biij 14 ANALYSE EC gene ralement fi Ton veut que m marque 1 expofant de la punTance de AP, & n celui de la puiflance de PB> on aura ~ A; x <z x qui eft une equation ge- neVale pour routeslesellipfesariufini,dont la difference eft BTH^/n *n-i 4 m-IJ n n_i / m ~A -^=mx dxxa x tia x ax x x , d ou Ton tire ( en raettant pour-^^- Ta valeur Ar m x ^ . . ou/T= EXEMPLE III. 3 1 LES memes chofes etant pofe es que dans 1 exem- ple precedent , excepte que Ton (uppofe ici que le poinc _Z? tombe de 1 aiitre cote du poinc ^par rapport an poinc P, on aura 1 e quation S^-- = x m x a _,_ x " qui exprime la nature de toutesles hyperboles confiderees par rapport a leurs diametres. D ou Ton tirera comme ci-deiTus PT ma-^-m + ax Maintenanc fi Ton fuppofe que AP foit infiniment gran, de latano-ente TM nc renconrrerala courbe qu a unedi- ftance infmie , c eft a direqu elle en deviendra I afy mptote CEtfi I onanraencecas^T f -)=l^ ~a=AC> v tna ~^rm^~ nx puifque a etant infiniment moindre que x, le tcrme ma fera mil par rapport a *-+- rt .v. Par la meme rai/on en ce cas 1 e quation a lacourbe deviendra <?j/ " "* "=*;" "* ". Ainfi enfiJfantpour abrsger m-+ =^,&en extrayantde part & d autre la racine/?,on aura j<^=>i^,?lotnt ia difference eft d.\?j{t=.dxtyb; :de forte qu en menanc^paralle!e aux appliquees,&cn concevs nt un petit triangle au point oul a- fymptote CE rencontre la courbe , on formera cette pro- portion dx . dy, on tya y o::AC. ("fa). AE=^^, jfaf"*. Or les DBS TNFINIMBNT PETITS. /. Part. 15 valeurs deCW &: ^fietanc ainfi determinees , on mcnera ladroite irvdefinie C/Fquifcra I atymptote chcrchec. $;,# = /&;=/, la courbe fera 1 hyperbole ordinaire, Scon aura AC = ja,&. AE ^Vat>, c eftadirea ia moi- tie du diametre conjugue , ce que Ton fcait d ailieurs etre conrorme a la vcrite. EXEMPLE IV. H* SoiTl cquation/ x t axy(AP=x, PMy, a eft une ligne droire donne e ) 6c que cette equation exprime la nature de la courbe AM , fa difference fera 3yy dy 3X *dx = axdy -* aydx. Done ^ = 5^ , x) > ->"- w -y = 2S1_ en mettanc <(y / }**--/ }A:Ar^-jr pour tf jx* fa valeur j*xy. Maintenant fi Ton fuppofe que AP & T JWfoienc cha. cuneinfin;mencgranJe,latangente7 JVfdeviendrai afym- ptote C, &c les droites AT, AS deviendront AC, AE qui decerminenc la poficion dc I afymptote. Or AT que j ap- P e!le * -iK^.* * 1>on rire / = s&,= ? fc" que y^T* devienc ^/C, parcequ afors ^? eft nulle par rap- port a ax. Mettanc done cette valeur - a la place dej dans y" x =axy, on aura^rr.v a x = ^t-fxx,d\m Ton tire (en effaqant le tcrme ja tx.v, parceque x crane infin e, il eft nul par rapport aax deux autres 2/t x : & a x-} AC (t) =La. DC m2me ^5 (y ^~) que j appelle on tire x = - ^ = 1?. parceque ay + us a r j etant infinie par rapport a j, le rermc ^J fera nul par rapport au terms ay j & en mectant cette valeur dans li quation a la courbe , on crouvera AE (i) = -a. D ou il fuit que fi Ton prend les lignes^ ^, AE e gales chacune a - a, 6c qu on mene la droite indefinie CE, elle fera 1 afym- ptote de la courbe AM. i<S ANALYSE On fe reglera fur ces deux derniers exemples pour trouver ies alymptotes des autreslignes courbes. PROPOSITION II. Probleme. FIG. 7. jj. V| t f gfl f u pp fe j ans i a popofition precedents que Ies coupe cs AP foicnt des -portions d une li^necourbc dont l onf$a- che mener Ies tangcntes PT, & qud faille dit faint dome M fur la coune AM mener la tan^ente MT. Ayantmenel iippliquee JW/ aveclatangente TT^Scfup- pofe que la droite MT qui la rencontre en 7\ Toic la tan- 2;ence clierchee ; on imagmcra une autre applique mp infiniment proche de la premiere, 6c une petire droite M& parallele a PT : < en nommant Ies donne es^/ 7 , x; PM,y>on aura commeauparavanc PpouMR =dx,Rm dy s files triangles (emblablesw^AT&C A/T T donneront wX ^; . RM (dx) : : MP (y) ,PT--=. J ~. On acheve- ra enfuire le refte par le moyen de 1 e quation qui cxprf- mela relation des coupe es^/ > (6ey aux appliquees / M (y), comme Ton a vu dans Ies exemples qui precedent, & com- me Ton verra encore dans ceux qui fuivent. EXEMPLE I. 16. S o i T ^ = 2^?_L/?, dont la difference eft r-yyr ^ ^v^^-y ^. . ^ . on aura en re- duifane cette egalite i une proportion dy . dx ( MP.PTl . yJL . L . _ _ X -L.. Et partant le rap- x - port de la donnee MP a la foutangente cherchee PT , fera exprime en termes entierement connus & de livres des differences. Ce qui etoit propofc. Ex EM- DBS INFINIMENT PET ITS, J. Part. 17 EXEMPLE II. 1 7 So i T x = ^- done la difference eft dx = ~^> on aura PT(*T ) */=*- Si Ton fuppofe que la li- gne courbe A PB foit un demi-cercle, &c que les appli- queesAf Decant prolonge es en Q^, foient perpendkulai- res fur lediametre AB -> la courbe ^V.ZC fcra une demi- rouletteou cycloi de: fimple lorfque^ = </, allongee lorf- qu elle eft plusgrande, & accourcie lorfqu elle eft moindre. COROLLAI RE. 18. ^ i la roulette e tant fimple , Ton menc la corde AP > je dis qu elle iera parallele a la tangence AiT. Car le trian gle MPT e tant alorsifofcele, Tangle externe TPJ^tera. double de 1 interne oppofe TMQ. Or i angle APg^ eft egal a I angle APT, puifque Tun & 1 autre a pour mefure lamoitie del arc^/ 5&partant il eft la moitie de Tangle TPQ. Les angles T MJt^APJi^feront done e gaux entr - eux ; & par confequent les lignes AiT, AP feront paral- leles. PROPOSITION III. Probleme. I 9 1 O O i T une ligne courbe quelconque A P qui ait four FIG. 7. diamctre la droite KN AQ^, & dontl onftache mencr les tan- Rentes P K. ; fait de plus une autre courbe A M telle que menant comme on voitdra^f appliquee^A^qui coupe Ltfremiere courbe au faint P, la relation de fare AP a, I appltquee MQ^foit ex- f rimes par une equation quelconque. il faitt d un point donne M menerla tangents MN. Ayant nomme les connues/ K , ti KQ^ s; Varc AP,x > MQ^y > Ton aura ( en concevant une autre appliquee mq infinunentprochede A/JJ^&en tirantPO, M^paralleles a AQ. ) pp = dx , mS = dy, & a caufe des triangles fem- blables KPgJtPfO, mSM&MN> Ton aura PK. (t). i8 ANALYSE Kg^(s) :: Pf(dx). POouMS ^~. Et mS (dy ). SM (~) : : MJy) . N = ^ . Or par le moyen de la difference del equationdonne e, ontrouvera unevaleur de dx en termes qui feront cous affectes par dy , & partanc fl Ton fubftitue cette valeur a la place de dx dans - les dy fe detruiront, & la valeur de la fourangenre cher- chee QN /era exprimee en termes tous connus. Ce qu il falloic trouver. PROPOSITION IV. Pr obi erne. FIG. S. 2,0. S O i E NT deux lignes courbes A QjC, B C N qui ayent four diametrc Li droitc TE A BF, gS e/,-. t / <? fa-ache me- ncr les tariff ntes QE, NF -^foitde plusim/- autre l:<ne coxrbe lACtellequela rel.ition dcs appliquees MP, Q_P, NP,foirex- primce far une equation quelconque. Il feint d ttn point donne M fur cctte derniere courbe Lvi miner la taagente MT. Ayanc imagine aux points ^_, M, A^Jespetiti triangles Oq, MRm,NSn, Zi nomme lei connues PE,s 5 PF, t; PJO^x, PM,y\ PN>zj \ ona.\.\ra.O} dx,Rm dy,Sn 4 rti g_ = d^,* parceque x &j croiMant , s^diminue. Et a caufe des trianles femblables Q^E&iOQ, N n F&. MPT 6c mKM ; Ton aura gj> ( x ) . P E [i) : : qO (dx) . O^ou MR ou SN ~ . Et NP (ij . PF (t) : : nS ( dxj. SN=-^= - ( d ou 1 on EC mR(dy).RM ( s ~) :: MP (y) . PT= ^. Or fi I on met dans la difference del equationdonnee, a la place de dz., fa valeur ~^- } on trouvera une valeur de dxsndy, laquelle etant fubftituee dans ^~ j les dy fe detruiront , & la valeur de la foucangence PT fera exprimee en ter mes tous connus. DES INFINIMENT PETIT s. /. Pan. 19 E X E M P L E. 2.1- S o IT yy = xz., done la difference eft zydy = a^x + xd^-= fffo "^ en mertanc pour^fa valeur ne ga- tive - dx , d ou Ton tire dx = r ityd - -, & partant PT tX * *% $ *- * (>&L\ =^l = jfL en mectanc pour yy fa va- \ xdj / txz. sxz t s leur x^ Soit maintenant I equation generalej" 1 *"^ * m ^,dont la difference eft nT^f^- l dy =m^ x m - l d x + nx m ~ l d^ mtz n x i dx nsz. n x m i dx i r = } en mettanc pour as^la. valeur ^^^ d ou 1 on tire PT ( *-) = " f ^ r77v ""-I IX J \ xdy / fcf^"* 1 " Bit"* 01 W$t -^- W JA 171 j. ij <- i .-i-i n = -^ f _ aj , en metcanc pourj fa valeur x x^. On peut remarquer que fi les courbes s?QC, JJCN de- venoient des ligncs droites, la enurbe MC feroic alurs une des Sections coniques A 1 infi.n ; (^avoir une Ellipfe lorfque 1 appliquee CD, qui part du point de rencontre (?, Combe encre les extremitcs W, B ; une Hyperbole lorf- qu elle combe de part on d autre -, fc enfin une Parabole lorfque 1 une des exrremites^ ou /? eft infiniment eloi- gnee de 1 autre, c eft a dire lorfque I une des lignes droites CA ou CB eft parallele au diametre ^)B. PROPOSITION V. Probleme. H* o O i T une ligne courbc A P B qui ait un commencement FIG. fixe & invariable au point A , $ dont I on ftache mcncr les tangentcs PH j foit hon de cette ligne an autre feint fixe F, ^- une autre li<ine courbe CMD telle quayantmcne 1 1 droite quelconque FMP, la relation de fa fa>tie FM ^ la portion de courbe AP fait exfrimec far telle equation qu on voudra. On frofofe de mener du point donne M la taniente MT. Ayanc menefur^/ laperpendiculaire/./i qui rencon Cij io ANALYSE tre la tangente donnee /"//au point Pf,>t la chercbeejl/7" au point 7% imagine une droite FRmOp qui fafle avec FP un angle infimment petit, & decrit dti centre F les petits arcs du cercle I O, MK ; Ie petit triangle pOP (era femblableau triangle rectangle/ 1 / Hi car les angles fjpp, * An. i. HpF font *e gaux, puilqu ils ne different entr eux que de Tangle FFp que Ton fuppofe infiniment petit, & de plus Tangle/ O/ 7 eft droit ,puifque la tangente en O(quin eft autre chofeque la continuation du petit arc PO conlide- re commeune droite(eftperpendiculairelurle rayon tO. Par la meme raifon les triangles mliM,MFT feront fcm- blables. Or il eft clair que les petits triangles ou fecteurs FPO & FMR font femblables. Si done Ton nomme les connues PH,t;HF,siFM,y,FP,^&&lt;. arc ^ \x ;on aura PH ft} .HF(sJ .- : Pf (dx) . PO -. Et FP (^) . FM (y) FM (y) . FT= S ^j~. Eton acheverale refteparlemoyen de la difFerence de 1 equation donnee, E x E M r L E. FJG. jo. 2,3. J,[ [ on veut que la courbe APB foit un cercle qui ait pour centre le point fixe F i i\ eil cbir que la tangen te PHdevient parallele & e gale a la foutangente FH,z caufe que HP /era aulliperpenJiculaire a P t -, Scqu ainfi Ton aura en ce cas FT ~~f- = ^jr, en nommant la droite FP(^>-,^> parcequ elle devient conftante de va riable qLi elle e toit auparavant. Cela pofe, fi i on nomme la circonference entiere, ou une de fes portions de termi- ne es, b i&que Ton faffed . x:: a .y. la courbe CMD , qui eft en ce cas FMD, fera la Spirale ^Anbitnede , & Ton aura y = ~ qui a pour fa difFerence dy~ ^, d oiil on WQ ydx =-^= xdy en mettant pourji/ fa valeur ~ j &partant FT(^) =^.Cequi donnecetteconftruclion. DES INFINI ME NT PET ITS. I. Pan. zi Soit decrit du centre F & du rayon FM, 1 arc de cercle MQ, termine en Q par le rayon F^qui joint les points fixes ^, Fi foit pris /regale a 1 arc M : je dis que la droire MT fera tangence en M. Car a caufe des fe ckurs femblables FPA>FMQ^, 1 on aura IP (a).FM(y) : : AP Si 1 on fait en general b . x .-.- a m .y m , ( 1 expofant m de- figne un nombre entier ou rompu tel que Ton veutj la courbe FMD fera une des fpirales a 1 infini , & 1 on aura a m v f !/-- m T ; tt m dx m __ *_* - l d ou Ton fa valeur PROPOSITION VI. Problcme. ^4 O o i T tine ligne courbe APB dont fan fcache mencr FIG. ir. les tangente s PH , <^- * point fixe F //o a t fr^/r //gw j _/// une autre ligne courbe CMD tclle quo me nant commc un voudra , la droitc FPM 3 la relation de FP 4 FM/w> f.v/r/- meefarune equation quelconque, llfaut du point donnc M w^fr /^ tangente MT. Ayant mene la droite FHT perpendiculaire fur FM, 5c imagine comme dans la propoficion precedence les pecits triangles POf^ M Rm femblables aux triangles HFP, TFM,on nommerales connues^/f, si t P, x j F M,y > 6c Ton au ra PF (x) . FH (s) : : pO (dx) .OP~.EcFP(xJ. FM (y) :: OP ( -%) .RM= & . EC mR (dy) . RM (^) : : FM (y) . FT ^-. On achevera enfuite le refte par le moyen de la difference de 1 equation donnee. C iij ii ANALYSE E x E M P L E. 1J- b i Ton veut que la courbe ^/ .Z? foit une lizne . i droite PH, & que [ equation qui exprime la relation de FP a FM foitj x = </, c eft a dire que /"A/ foit tou- jourse galeala meme droite donnee*? ; 1 on aura pour dif- ference dy = d x ; & partant ^f^ =f . Ce qui donne cetre contraction. Soit mene e ME parallele a PH, 5c Jl/T parallele a je dis qu ellc /era rangente en M. Car FP (x).FH (s):: FM (y ) . FE -= - v . E f*; .FE( -j) :: FM (y) . FT = . II eft clair que la courbe CMDeft la Conchoi de de Nicomcde , dont I alym- ptote eft la droice PH , &: le pole eft le point fixe I. PROPOSITION VII. Probleme. Fie. ii. 2,6. ^ o I T une ligne courbe ARM dont ton foiche mener les tan^cntes M H, &qui ait pour diumetrc Li droite EP A HT, fait bars de ce diamctre un point fi^e F, d ou pane one hgne droite indefinie F P S M qui coupe le diametre enP & la courbe en M. Si I on conc^ott maintenant que Li droite FP M, en tour- nant autour du point F, faffe mouvoir le plan P A M t UJours par.t I/clement a. foi-mcme le lon 1 ^ de Li lio^rte droite E.T immo bile & indefinie^ en forte que la. distance PA demeure pur- tout la meme > il eft clair que CintcrpHion cont:nuellc M des li^nei FM , AM decrira, dans ce mouvement une ligne courbe CMD. On propofe de mener d un point donne M fur cette courbe la tangents MT. A yant imagine que le plan PAM foir parvenu dans la ficuacion infiniment proche^/w, &tire la ligne?^5pa- rallele a A P ->\\ eft clair par la generation que Pp = sla. = Rm; Si partant que /?N Sm Pp. Or nommant les i MH , t & DES INFINIMENT PETIT s. 7. Part. 23 la difference l>p, dz^; les triangles femblabks FPf&C FSm, MPH & MSK, MHT &C MRm, donneront Pf (x) . Fm ( y } : : Pp (dz) . Sm y ( done SR = * -). V X X ^ Et PH(s).HM(t)::L Et Done fi Ton mene FE parallele a M Pf , & qu on prenne HT = PE j laligne AfT fera la tangentecherchee. Si la ligne AM ecoic une ligne droite ; la courbe CMD feroic une Hyperbole quiauroic pour une de fes afympto- tes la ligne ET. Et fi elle etoic un cercle qui eutfon cen tre au point P 5 la courbe CMD feroit la Conchoi de de Nicomede, qui auroitpour afymptote laligne ET, &pour pole le point F. Mais fielleetoit une parabole; la cour- beCJWD feroit la compagnedelaParaboloi dede.Df/<#r- tes*, qui fe decriroit en meme temps nu deflbus de la * Gcom. droite ET par 1 interfeclion de FP avec 1 autre moitiede Liv. 5. la Parabole. PROPOSITION VIII. Probleme. "**7 O o i T tine ligne courbe AN qui ait four diamctre la FIG. 15. ligne draite AP, avec un point fixe F hots de ces lignes , joit Kne autre ligne courbe CMD telle qae menant comme I on twWnf , la droite FMPN,/^ relation de fes parties FN , FP, FM foit exprimee par une equation quelconqite. llefl queftion de tirer du point donne M la tangent e MT. Soit menee par le point F la ligne HK perpendiculaire a F?f, qui rencontre en A le diametre s4P, & en H la tan- gente donnee NH> foient decrits du centre F & des in- tervalles FN, FP, FM des peeks arcs de cercle Ng^ PO, MR termines par la droite Fn que Ton con^oit faire avec FN un angle infiniment petit. Cela pofe. Sil on nommelesconnues^/C,/jFJy,^;^/ ,Ar ; FM y; FN, ^.5 les triangles femblabks PF K &fOP, FMK &c 14 ANALYSE FPO & FNQ^, HFX& NQn, mRM & MFT donneront PF (x). FK. (s) :-. pO(dx). OP=^. EtFP(x).FM (y ) : : PO ( **} . MR -^f. EC FP (x) . FN ( zj : : PO (~). NQj= -*. Et HF (/) .FW(zJ : : NQ (*g ). Qn ( - &0 ? ^mR(tfy).RM( ^) : : FM(y}. FT = --. Or parle moyen de k difference de I equa- tion donne e on trouvera une valeur ded/en dx & d^ dans laquelle mettant a la place de dz^fa. valeur negative = , parceque x croiffanc , j^diminucj tous lestermes feront affcdes par Ax-, de forte que cette valeur etant en- fin fubftituc e dans 2^, les dx fe detruironc. Et partanc la valeur de FT fera exprimee en termes connus 5c deli- vres des differences. Si Ton fuppofoit que la ligne droite ^4P fiit une ligne courbe, 6c qu on inenat la tangente PK ; on trouveroit toujours pour FT la. meme valeur, &le raifonnement de- meureroit le meme. E x E M P L E. FIG. 14. 2.5. ^UPPOSONS que la ligne courbe A 2f foit un cerclequi paile par le point F (tellement fitue a 1 egard du diametre AP que la ligne f B perpendiculaire a ce diametre pafle par le centre G de ce cercle ) , & que PM foit toujours egale a PN-, il eftclairquela courbe CA/D, qui devient en ce cas F MA^ fera k CifToide de Diodes, & que Ton aura pour equation ^H- y = zx , dont la dif ference eft dy zdx d^~ itxxdx ^ s \\. dx en mettantpour dz fa valeur - trouvee ci-deflus *. Et partant FT * Aft. i-j. txx ssii1x \ styy ( xx*ty J uxx -)- st,x. Si le point donne M tomboit fur le point A, les lignes ^ FN, FP feroient egales ciucune a FA , comme aufll les D E s INFINIMENT PETIT s. / Part. 15 les choices .F/C , FH > Sc partant on auroiten ce cas FT, = -= f A; , c eft a dire que fi Ton prend FT = \AF> & qu on mene la ligne AT, elle fera tangente en A. On pent encore trouver les tangentes de la CiiTo ide par le moyen de la premiere Propofition , en menant les perpendiculaires NE, ML fur le diametre FB , & cher- chanc 1 equadon qui exprime le rapport de la coupe e FL a 1 applique e LM> ce qui fe fait ainfi. Ayant nomine les connues FB, zaj FZo\iBE,xi LM,y -> les triangles femblables FEN, FLM, & la propriete du cercle don- neront FL (x).LM(y] : : FE . JV" : : EN ( Via < xx) . EB (*). D ou 1 on tircjy=jj^ , done la difference eft "*" *-" " . Et partant ZO* (&- ) = JZJL^^f! ^T 1 ^ *> x i ~jrE^r> en mettanc pour jy fa valeur ^~ x . PROPOSITION IX. Probleme. 1-9 SotENT deux ligne s courbe* ANB, CPD, ^ une li- F gne droite FKT, (ftrlefquellesfoient marques des faints fixes A , C, F ;foitdeplus une autre ligne courbeEM G fellc qu ayant mene par an de fes points quelconqucs M la droite FMN, & MPparaltele aFK.; la relation de I arc AN Z I arc CP fait exprimee par une equation qutlconque. jlfaat d ttn point don, ne M. fur la courbe EG mener la tangente MT. Ayant mene par le point chercher la ligne r//paral- lele a FM, & par le point donne jV/les droites MRK, MOH parallels aux tangente.sen P&i en N, on tirera FmOn infi- niment proche de FMNk mRp parallele a MP. Cela pofe, (1 1 on nomme les connues FM,s; FN, t; MK, ; C/Vv ; AN y , (done />/>oti MR=dx, Nndy) les trian gles femblables FNn & FMO, MOm & MHT, MRm & MKT doanerontFW(t).FM (s) : : Wn(dy).MO -^ D i6 ANALYSE Et MR (dx] . MO ^ }:: MK(u\. MH = "f . Or par Jc moyen de la difference de 1 equation donr.ce I on aura une valeur de dy en termer qui (eront tou.s affede s par dx t laquelle e tanc fubftituee dani ~&- t les dx fe detruiront^Sc partanr la valeur de MH (era exprimce en termes en- tierement connus. Ce qui donne cette conftruclion. Sole mene MH parallele a la couchante en N &i ega- le a la valeur que I on vient de trouver : foit tiree HT parallele a.FM, qui rencontre en T la droire FK, par ou & par le point donne M foit menee la tangente cherciiee MT- E x E M P L E. FIC.K?. jo. i Ton veut que la courbe ANB foit un quart de cercle qui ait pour centre le point fixe F, que la cour be CPT) foit le rayon APF perpendiculaire fur la droite F KG STB, 6c que \ &KAN(y} foit toujours a la droite^/ 7 (x) comme le quart de cercle^-Af.Z? (6) au rayon AF (a) ; la courbe EM G devicndra la Qtiadratnce^AfG de Dinoflra- fr,& Ton aura M H ( ) = ^^ , puifque FP ou MK (u)=a x y &FN(t) = a. Maisl analogie fuppofe e donne ay=l>x,$ady = l>dx. Mettant done dans la valeur de MHa. la place de x & de dy leurs valeurs "/ & ^, on trouvera MH= k ~ J Ce qui donne cette conduction. Soit menee MH perpendiculaire fur F M, & egale a 1 arc yl/^decritdu centre/ 1 , & foit tiree HTparallele a FM -, ie dis que la ligne MT fera tangente en M. Car a caufe des fe deurs femblables FNB, FMQ, I on aura COR.OLLAI RE. FIG i 3 I- S i l on veuc determiner le point G ou. la "quadra- trice AMG rencontre Ie rayon FB, on imaginera un au- tre rayon F<jj> infinimenc proche de FGB j & en me- jiant gf parallele a I, la propriete de la quadratricc DES TNFINIMENT PETITS. 7. Part. 17 & les triangles femblablesf^g/jF, rectangles en. D ou Ton voic que fi Ton prend une troifieme proper- tionnelle au quart de cercle AB & au rayon AF, elle fera egale a FG,c eh a dire que FG = ". Ce qui donnelieu lieu d abreger la conftrudion des tangentes. Car menant TE parallele a MH, les triangles fembla- Fjo _ bles FM K, FTE donneront MK (a x } . MF (s):: ET ouMH (^* ) . *r= jr= en mettant pour x fa valeur ^ , & divifant enfuite le tout par b y ; d ou il eft clair que la ligne FT eft troifieme proportionnelle a FG Sc a FM. PROPOSITION X. Probleme. So IT me ligne cotirbt AMB telle qitttyantmcne dun FIC. >/ quelconquesNlaux foyers F, G, H, &c. les droi- tes MF, MG, MH, &c.leur relation foit exprimee par une equation quelconque : &foit frofofe de mener du point donne M la ferpendiculaire M P fur la tangents en ce point. Ayant pris fur la courbe^^l arc Mm infinimenc petit, & meneles droitesFRm^GmSjHmO, on decrira des cen tres F, G, H les petits arcs de cercles MH, MS, /^OJenfuite du centre M Scd un intervalle quelconque on decrira de meme le cercle CDE qui coupe les lignes M F, MG, MFf aux points C,Z), E, d ou Ton abaiiTera fu r M.P les perpendi- culairesCZ, DK, El. Cette preparation etantfaite, je re- marque 1. Que les triangles rectangles MRm, MLC font iem- blables j car en otant des angles droits LMm, RMC Tangle commun LMR, les reftes/JAf;,/tfC feront egaux,& de plus ils font redangles en R Sc L. On prouvera de meme que les triangles rectangles MSm & MKD, MOm & M1E font femblables. Partant, puifque 1 hypothenufe Mm eft com mune aux petits triangles MRm, MSm, MOm , & que les D.j iS ANALYSE hypothenufes MC, MT), AdE des triangles MZC, MK.T) , MIE fonte gales entr ellesj il s enfuic que les perpendicu- laires CL, DK, El ont le meme rapport entr elles que les differences Jim, Sm, Qm. i. Que les lignes , qui partent des foyers fitues du me me core de la perpendiculaire Mf,croiiTent pendant que les autres diminuent, ou au contraire. Comme dans la figure 1 8, /vWcroift de fa difference Rm , pendant que les autres GM, HM diminuent des leurs Sm , Om. Sil on fuppofe a pre fent, pour fixer fes idees , que 1 e- qiucion qui exprime la relation desdroites.F/w (x), GM (y) , HM (zj, foit ax-*- xy &.= , done ladifFe ren- ce eft adx -* ydx -*- xdy 2zd%==.o i II eft evident que la la tangente en M( qui n eft autre chofe que la continua- * Art. 3. tion du petit cote Atfwdupoligoneque 1 on conceit *com- pofer la courbe^jVf^) doit erre tellement place e qu en mcnant d un de fes points quelconques m des paralleles mR,mS, iO aux droites FM, GM, HM, termineesen R 3 S, O par des perpendiculaires MR, MS, MO zees nie mes droi tes , on ait toujours 1 cquation a -+-y x Rm + x x Sm 2\_ x ot-=o:oa ( ce qui revient au meme, en mettant a la place de Rm , Sm, Om leurs proportionnelles CL , DK, 1 } que la perpendiculaire MP a la courbe doit erre pla ce e en forte que a. -*-y x CL -*- x x DK 2^* El = o. Ce qui donne cette contraction. Fia.iS.io. Que on conCjOive que le point C foit charge du poids ^-^./qui mulciplie la difference dx de la droite FM fur laquelle il eft fitue, & de meme le point D du poids x , & le point pris de 1 autre core de M par rapporc au foyer/f ( parceque lererme ^sAeft negatif) du poids 2%. Je disquela droite MP qui paffe parlecommun cen tre de pefanteur des poids fuppofez en C, D, E, fera la perpendiculaire requife. Car il eft clair par les principes delaMc canique., que toute ligne droite, qui paffe par le centre de pefanteur de plufieurs poids , les fe pare en for te que les poids d une part multiplies chacun par fa di, ftance de cette droite, font precife ment egaux aux poids DES INFINIMENT PETIT J. /. Part. 19 d 1 autre part multiplies aufli chacun par fa diftance de cctte meme droice. Done pofant le cas que x croiflant, y & ^croiffent aulfi, c eft a dire que les foyers F, G, H. FIG.IJ. tombent da meme. cotedeMP, comme 1 on fuppofe tou- jours en prenant la difference de 1 e quation donnee felon les regies prefcrites 5 il s enfuit que la ligne MP laiflera d une par: les poids en C &: D ,, & de 1 autre le poids en .E,&qu ainfi Ton aura a-*-y*. CZ-*-x*DK 22^ EJ=o t qui eroit 1 equation a conftruire. Or je dis maintenant que puifque la conftru&ion eft bon ne dans ce cas , eile le fera auffi dans tous les autres ; car fuppofant par exemple que le point At change de fitua- tion dans la courbe en forte que x croiflant , y &t 2; dimi- FIG. ij. nuent, c eft a dire que les foyers G, H paflent de 1 autre cote deAf/>, il s enfuit i. * Qu il faut changer dans la * Art. f. difference de 1 e quation donnee les fignes des termes affe, cle s par dy, d^, on par leurs proportionnelles DK, El; de forte que 1 equation a condruire /era dans ce nou_ veau cas ~a^y x CZ x x DK -*- 2^ x El = o. i. Que les poids en D & E changeront de cote par rapport a AfP, 6c qu ainfi 1 on aura par la propriete du centre de pefanteur"J :: t : 3 x CZ x x DK + j^ x / = , qui eft 1 e quation a conftruire. Et comme cela arrive toujoursdans tous les cas poffibles , il s enfuit, &c. II eft evident que le meme raifonnement fubfifteratou- jours tcl que foit le nombre des foyers, Sc telleque puiffe tre 1 cquation donnee ; de forte que 1 on peuc enoncer ainfi la conftruction ge nerale. Soit prile la difference de 1 equation donnee dont je fuppofe que Tun des membres foit zero, 8c foit de crit a difcre tion du centre A/un cercleCZ) qui coupe lesdroi- tes Mf, MG, MH aux points C, Z>, , dans lefquels foienc census des poids qui ayent entr eux le meme rapporc que les quantites qui multiplient les differences des li- gnes fur lefquellesils font fitue s. Je dis que la ligne jV/Pqui palle par leur commun centre de pefanteur, (era la per- pendiculaire requife. II eft a remarquer que fi 1 un des Diij 30 ANALYSI poids eft ne gatif dans la difference de { equation donne e t il Ic faut concevoir de 1 autre cote du point M par rap. port au foyer. Si 1 on veutque les foyers F, G 3 H" foient des lignes droi- Fic.zo. tesoucourbesfur qui les droites .A4.F, MG, Mfftombent a angles droits, la meme conftruction aura toujours lieu. Car menant du point m pns infinimenc pres de M les per- pendiculaires /, mg^mb fur les foyers, &du point M les petites perpendiculaires MR, MS, MO fur ces lignes ; il eft clair que R.m (era la difference de MF, puifque les droi- tes MF, Rf etant perpendiculaires entre les paralleles Ff y MR, elles feront egales , & de meme que Sm eft la diffe rence deMG,&i Om celle de MH> Sconprouveraenfuitc tout le refte comme ci-deffus. FIG. ii. On peut encore concevoir que les foyers f, G, Wfoienc tousou en partie des lignes courbes qui ayent des com- mencemens fixes & invariables aux points F, G, H, & que lalignc courbe^JW^foit telle qu ayant menepar exem- ple d un de fes points quelconques A/lcs tangentes Mf^, MJC & la droite MG > la relation des lignes mixtilignes FJ^M, HJfM & de la droite GM foit exprime e par une equation quelconque. Car ayanrmenedu pointwzprisin- finimentpres de J[f la tangente2,il eft clair qu elleren- contrera 1 autre tangente au point V( puifqu elle n eft que la continuation du petit arc Vu confide re comme une pe tite droite } , & partant que fi Ton de crit du centre V Ic petit arc de cercle MR i Rm (era la difference de la ligne mixtiligne FVM qui devient Ff^uRm. Et tout le refte fe de montrera comme ci-devant. M. Tfchirnhaus a donne la premiere idee dece Problemt dans fan Livrc de la Medecine de I effrit > M. Fatio en a tronve en- fetite une folution tres ingenieufe quilafait inferer dans les Joarnaitx d Hollande : mais la maniere dont ils font con^tt , n eft quun cas particular de la conftruttion qenerale que je vicns de denner. DZS INFINIMENT PETIT s. 1. fart. 31 EXEMPLK L 33- SOIT axx*-byy+- cz&_ f =o ( les droites /r, , c, f font donne es) dont la difference eft axdx -- bydy -t- c^ds^ e= o. C eft pourquoi concevant en C le poids ax, en D le FIG. it. poids ^, & en le poids r ^, c eft a dire des poids qui foient entr eux comme ces rectangles ; la ligne MP qui pafle par leur commun centre de pefanteur, fera perpen- diculaire a la eourbe au point M. Mais li Ton mene FO parallele a CZ, & que Ton pren- ne le rayon MC pour 1 unite , les triangles femblablcs Jl/CZ, M .FOdonneront FO=x xCZJ & de m3me me- nant GR parallele a DK , & HS parallele a /, on trou. vera que GR y x DK&cHS= ^.x El : de forte qu en imaginantauxfoyersP,G,/i"lespoids^,^,<r; la ligne MP, qui pa(Te par le centre de pefanteur des poids ax, by , ct^ fuppofez en C, Z), , paflera auffi par le centre de pefan teur de ces nouveaux poids. Or ce centre eft un point fixe, puifqueles poidsen F, G, Ti", fc^voir^, ^, c, font des droites conftantes qui demeurent toujours les memes en quelque endroic que fe trouve le point M. D ou il fuic que la eourbe AM B doit etre telle que toutes fes perpen- diculaires fe coupent dans le meme point , c eft a dire qu elle feraun cercle qui aura pour centre ce point. Void done une propriete tres remarquable du cercle que Ton peut e noncer ainfi. S il y a fur un meme plan autant de poids <r, , r, &c. quel on voudra, fitues en F, G, f,&c.{. que Ponde cri- vedeleur commun centre de pefanteur un cercle j4MB , je dis qu ayant mene d un de fes points quelconques M, les droites M? , MG,MH, 8cc. lafommedeleursquarres multiplies chacun par le poids qui lui repond , fera tou jours e gale a une meme quantite. EXEMPLE II. 34. SOIT la eourbe AMB telle qu ayant mene d un FIG. j? de fes points quelconques ^Wau foyer F qui eft un point 3i ANALYSE fixe la droite AF,& au foyer G qui eft une ligne droite ]a perpendiculaire MG i le rapport de MF a yMG foit tou jours le meme que de la donnee * a la donnee b. Ayantnomme F M,x> MG,y ion aura x .y.-.a.b^ & partant ^ = bx dont la difference eft ady bdx = o. C eft pourquoi concevant en C pris au dela de M par rapport a^ le poids , &enZ>(a pareille diftance de M] le poids rf, & menant par leur centre commun de pefan- teur la ligne MP i elle fera la perpendiculaire requife. II eft clair par lepnncipe dela balance, que fi Ton divife la corde CD au point P en forte que CP . D P :: <t . b 5 le point P fera le centre commun de pefanteur des poids fuppofes en C & D. La courbeslME eft une feclion conique, f^avoir une Parabolelorfque<*=^,une Hyperbole lorfque a furpafle t } 5c enfin une Ellipfe lorfqu il eft moindre. EXEMPLE III. FIG. 14. j.y. j i aprcs avoir attache les extremites d un fil FZyMGMXTHen F&en H, & avoir fiche une petite poin- te en G, on fait tendre e galement ce fil par le moyen d un ftile place en M, en iorte que leb parties FZy, HYJf fbient roule es autour des courbes qui ont leur origine en F&H, que la partie MG foit double, c eft a dire qu elle foit repliee en G , & que les chofes demeurant en cet etat Ton fade mouvoir le ftyle M > il eft clair qu il de- crira une courbe^MS. II eft queftion de mener d un point donne M furcecte courbe la perpendiculaire MP, la pofirion du fil qui fert a la de crire etant donnee en ce point. Je remarquequelespartiesdroites JW, ///JTdu fil font toujours tangentes en ^&^r ,& que fi Ton nomme !es Ii- gnes mixtilignes FzyM, x ; HYlfM^ ^.5 la droite MG,y ; & une ligne droite prife cgale a la longueur du fil , a j 1 on aura toujours x +- zy -t- z^== a : d ouje connois que la courbe ^M eft comprife dans la conftruction gene rale. C eft pourquoi prenant la difFerence dx -4- 2dy H- dz^= o, Si concevant en C le poids /, en D le poids 2, & en F. le poids DES TNFINIM^NT PET ITS. 1. Tart. 33 poids/; je dis que la ligne M P, qui pafle par le centre com- mun depefanteurde cespoids,(eralaperpendiculaire re- quife. PROPOSITION XI. Probletne. 36. SOIENT deux ligncs quelconques APB, EQF dont FlG - fan ftache mener les tangwtes PG, QH ; &fo;t une ligne droite PQjur laquelle foit marque un point M. Si I on conceit que les extremites, P, Qjle ceite droite gltjfent le long des lignes A B , EF, // eft clair que Le point M decrira dans ce mouvemcnt une ligne courbe- CD. Jl eft queftionde mener d un point donne M fur cette courbe la tangents MT. Ayant imagine que la droite mobile PMQ^Coit parve- nue dans la fituation infinimentproche/w^jOn tirerales petites droites/ O, MR, ^5perpendiculaires fur/ ^ce qui formera les petirs angles redangles/O/ , mRM, qSQ^i Ccayant prisPK egale a Af<^, on menera la droite ffKG perpendiculaire fur PJi^ & Ton prolongera 0/*en 2", on. je fuppofe qu elle rencontre la tangente cherchee MT. Cela pofe , il eft clair que les petites droites Op , Rm , Sq feront egales entr elles, puifque par la conftrudion PM & M^Jont par tout les memes. Ayant nommc les connues PM ou KQ, a; JW^ou PK, b ; /CG,/i Kff, g ; & la petite droite Of ou Rm ou 5^, dy; les triangles femblables PK.G ZipOP, J>>KH & qS Q^ donneront PK (b) . KG (f) .- : pO (dy) .OP=^-. Et^C (a) . KH (g) : : qS ( dy ) . s^==^. Or 1 on fcaie par la Geometric commune que MR = ELL^JLill^ "~j7ff^- Ainfi les triangles femblables mRM, MPT donneront mR (dy) . RM ( ^ a ~*f^) : : MP (a) . PT = ^zrj~, Ce qu il falloit trouver. 34 A N A i T s E PROPOSITION XII. Probleme. FIG. 16. 37. SOIENT deux lignes q uelconques BN, FQjp/ ayent four axes les droitesBC, ED qui s entre-coupcnta angles droits au point A ; &fait unc ligne courbe LM telle quayant mene d un de fes faints quelconques M les droite i MGQ^, MPN farallele a AB, AE-, la relation" des cfpacesEGQlc ,(le point eft tin point fixe donne fur la droite AE , & la ligne EF eft farallcle ,* AC ) APN D, $/ droite s A P , P M , P N, G Q^, foit exprimec par une equation quelconque. ll ejt queflion de miner a un point donne M. fur la ceurbc LM , la tangents MT. Ayant nomme les donnees & variables^/ 7 ouGTl^, x> PM ou AG,y;PN, u ; G, ^ 1 efpace EGF,s; 1 efpa- ce APND, 1 5 6c les foucangentes donnees PH,a ; GK, b > = du= ~a caufe des triangles femblables HPN ; = 2^; on 1 on doit obferver que les valeurs de Rm &&gt;S font negatives, parceque^/ 7 (x) croiflanc, P M (y) & PN(u) diminuent. Cela pofe , on prendra la differen ce de 1 cquation donne e, dans laquclle on mettra a la place de dt t ds ,^/w, Clears valeurs^, ^, ^. y j ce qui donnera une nouvelle equation qui exprimera le rapport cherche de dy a dx, ou de M P a PT. EXEMPLE I. 3 O OIT s -t-^= *-*-#, on aura en prenant les dif ferences ds ->t-2 ^d\ dt +- udx -- xdu, 5i mettant a la <p\&- cedects,dt,dz.,du\eurs valeurs, on trouvera zdy 1Z ^ i ^ d ou 1 ontire FT (% ) fe. ^^^. is INF INI ME NT PET ITS. 7. Part. 37 EXEMPLE II. 39 S O IT / = /, done ds = dt , c eft a dire s^/y i . udx-^ & partant / T ^7^) = Or comme cette quantite eft negative , il s enfuit*que Ton doit prendre *An.io. le point T du cote oppofe au point A origine des x. Si Ton fuppofe que la ligne FQ^ foit une hyperbole qui ait pour afymptoteslesdroites^C, AE, en forte que G<^_(zJ = , & que la ligne END foit une droite parallele a ^J? 3 demaniereque PN(u) foit par tout egaleala droite donnee c , il eft clair que la courbe LM a pour afymptote la droite AB, &que fa foutangenre PT ( ) ^) == c c eft a dire qu elle demeure par tout !a meme. La courbe LM eft appellee dans ce cas Logarithmique . PROPOSITION XIII. Probleme. 2.6. ^ o i E N T deux lignes quelconques BN, FQquiayent p IG- !-,_ pour axe la mcme droite B K,furlaquelle foient marquee deux points fixe i A, E j foit une troifieme ligne courbe L M telle quayant mene par un de fes points quelconques M la droite AN , decrit du centre A I arc de cercle MG, &tire GQ_^rf- raflete H EF perpendiculaire fur AB ; la relation des effaces EGQF(s), ANB (t), & des droite s AM ou AG (y), AN (z),GQ (u), foit exfrimee par une equation quelcon- quc. Il fattt me ncr d un point donne M fur la courbe LM la tangente MT. Apres avoir mene la droite ^T Hperpendiculairefur^^A^ foit imagine une autre droite A inn infiniment proche de AMNj\t\ autre arc wg,une autre perpendicalarreg^,& de- critdu centred le petit arc NS: on nommerales foutangeu- tes donne es Apf,a; GK , ^; & on aura Rm ou Gg = dy y S == dz^-, les triangles ferablables H.AN 5c ^ , Eij ANALYSE On mertra routes ces valeurs dans la difference de Pequation donne e, Scl on en formera une nouvelle, d ou. Ton drera tine valeitr de a^en dy. Or a caufe desfeileurs on trouve AN (gj . AM (y) :: NS () . MR = 7^. Et ^ ^; . R M ("-) :: AM(y).AT = %$. Si done Ton met dans cette fonnule a la place de ^ (a va leur en dy } les differences fe detruironc , & la valeur de la foutangence cherchee^7 T fera exprimee en termes en- tierement connus. Ce qu il falloit trouver. E x E M P L E I. 4 1 b o i T tty / = ^ ?, dont la difference eft udy -*-ydit ds = 2Z,dz^ dt, ce qui donne ( apres la lubfti- tution faice ) d^ 4 *^~^ y ; & en metcant cette va- leur dans 52^, on trouve ^r= 4 ?T~V""". i*. ** 1 --*ii EXEMPLE II. o i T ; = 21, done ds = zdt , c efl a dire ttdy Si la ligne /?JVeft un cercle qui aic pour centre le point ^,5cpour rayon la droite AB = AN=c, Scque/ ^jbit une hyperbole telle que GQJu) ==. % ; il eft clair que la courbe Z M fait une infinite de retours au tour du cen tre A avant que d y parvenir ( puifque 1 efpace F EG g^ devient infini lorfque le point G tombeen^), Scque^T" = f -^-. D ou Ton voit que la raifon de^yWa^Teftcon- ftante ; 8i partant que Tangle AM reft par tout le meme. La courbe L M eft appellee en ce cas Logarithm.! que ffirale. DBS INF IN i MEN T PET ITS. I. Part. 37 PROPOSITION XIV. Probleme. 43 j o i E N T fur un meme plan deux courbes qaelconqucs FIG. 18. AMD, BMC qui fe touchent en un faint M, & foit fur le flan de la courbe B M C un faint fixe L. Si I on conceit a pre- fentquela courbe BMC roulefurla courbe AMD en s y appli- quant continucllement en forte que les parties revalues AM, BM foient toujours e gales cntr elles, ileftvifible que le flan BMC important le point L , ce point decrira dans ce mouvement one efpece de roulette ILK. Cela pofe , je dis que Ji I on mene dans cheque differente po fit ion de la courbe BMC (da point deer i- vant L au point touch ant M ) la droite LM j die feraferpen- diculaire a. la courbe ILK. Car imaginant furies deux courbes AMD, B M^ deux parties Mm, Mm egales entr elles & infiniment pecites, on lespourraconfiderer*commedeux pedtesdroites quifonc * -Art. 5. au point M un angle infiniment petit. Or afin que le pe tit cote Mm de la courbe oti poligonc B MC tombe /ur le petit cote Mm du poligone AMD, il faut que le point L decrive autour du point touchant yWcomme centre un petit arc Ll. II eft done evident que ce petit arc fera par- tie de la courbe ILK.; &par confe quentque la droite ML, qui lui eft perpendiculaire, fera auffi perpendiculaire fur la courbe ILK. au point L. Ce qu il falloit prouver. PROPOSITION XV. Probleme. 44 O O I T KK angle reciiligne quclconqtie M LN , dont les F IG - *? cotes LM, LN touchent deux courbes quelconques AM , BN. Si I on fait gliffer ces cbtes autour de ces courbes, en forte quils les touchent continuellement y ilefl clair que le fommet L de crira dans ce mouvement une courbe ILK. ll eft que ft ion de mener une perpendiculaire LC fur cette courbe , la pofition de I angle MLN etant donnee. E iij 3$ ANALYSE Soit decrit un cercle qui pafle par !e fommet Z , & par les points touchans M, Nj foit menee par le centre C de ce cercle la droite CL : je disqu elle fera perpendiculaire a la courbe7Z/C. gones d une infinire de cote s tels que Mm, Nn i il eft e vi_ dent que Ci Ton fait glifler les cote s LM, LN, de Tangle re. cliligne MLN, qu on fuppofe demeurer toujours le meme, autour des points fixes M, N, ( on confidereles tangen- tes Z A/, LN comme la continuation des petits (.ore s Mf, JVg) jufqu a ce que le cote LM de Tangle tombe fur le petit core A/wdupoligone AM, St Tautre cote /.7/fur le petit cote Nn du poligone BN , le fommec L decrira une petite partie Z/de Tare de cercle MLN , puifque par la conftruclion cet arc ell capable dc 1 angle donne MLN. Cette petite partie Ll fera done commune a la coltrbe /Z/C;&parconfequentladroiteCZ,qui lui eft perpendi culaire, fera auffi perpendiculaire fur cette courbe au point L. Ce qu il falloit demontrer. PROPOSITION XVI. Probleme. FIG. 30. 45 O O i T ABCD une corde parfaitement flexible a, ld- quclle foient attaches different folds A, B, C, &c.quiayent cntreux tels intervales AB, BC, &c. que I on voudra. Si fan trains cette corde fur un flan horizontal -far I extremite D , le /0g d une courke donnee, DP; // eft clair que ces foidsfc dtf- foferont en forte qu ils feront tendre la corde , & quils decri- ront enfuite des courses AM, BN, CO, &c. On demande la mamered entirerlestan^cntes , lafojitionde la corde ABCD etant donnee avec la grandeur des folds. Dans le premier inftantque Textrcmire D avance vers P, lespoids si, B, C, decrivent ou tendent a decrire autanc de petits coce s^^, Eh, CY despoligonesqui compofentles courbes AM, BN, CO; &par confe quent il ne raut pour en mener les tangentes AB> EG, CK , que determiner la DES INFINIMENT PETIT s. /. Tart. 39 direction des poids^, B, C dansce premier inftant, c efta dire la pofitiondesdroitesqu ilstendentadecnre. Pour la trouver, je remarque i. Que le poids A eft tire dans ce premier inftant fui- vanc la direction AB, & comme il n y a aucun obftacle qui s oppofea cette direction, puifqu il ne trame apres lui au- cun poids, il U doit fuivre ; & parcanc la droite AB fera la cangente en A de la courbe A M. i. Que le poids B eft tire fuivanc la direction BC> mais parcequ il rraine apres lui le poids A qui n eft pas dans cette direction , & qui doit par confequent y apporrer quelque changement, le poids B n aura pas fa direction fui vant BC, mais fuivanc une autre droite BG, dont il faut trouver la pofition. Ce que je fais ainfi. Je de cns fur BC comme diagonale le rectangle EF, done le cote BF eft far AB prolongee, & fuppofant que la force avec laquelle le poids B eft tire fuivant BC , s ex- prime par BC , il eft vifible par les regies de la Me cani- que, que cette force BC fe peut partager en deux autres BE&BF, c efta dire que le poids B e tant tire fuivant la direction BC par la force BC, c eft la meme chofe que s il e toit tire en meme temps par la force BE ftiivant la di rection BE , 6c par la force BF fuivant la direction BF. Or le poids A ne s oppofe point a la direction BE , puif- qu elle lui eft perpendiculaire ; & par confequent la for ce BE fuivant cette direction demeure toute entiere: mais il s oppofe avec toute fa pefanteur a la direction BF. Afm done que le poids B avec la force BF vainque la refiftance du poids A , il faut que cette force fe diftribue dans ces poids a proportion de leurs mafles ou grandeurs : c eit pourquoi fi Ton divife EC au point G, en forte que CG foit a GE comme le poids A au poids B > il eft clair que EG exprimera la force reftante avec laquelle le poids B tend a fe mouvoir fuivanc la direction BF , apres avoir vamcu la refiftance du poids 4. II eft done evident que ]e poids B eft tire en meme temps par la force BE fuivanc la direction BE , & par la force EG fuivanc la direction -fo ANALYSE BF ou EC; & partant qu il tendra a aller par BG avec la force BG: c eft a dire que BG fera fa direction, & par confequent tangente en B de la courbe BN. 3. Pour avoir la tangente C/C,je forme fur CD com- me diagonalele rectangle HI, dontle cote C7eft fur.SC prolonged; & je vois que le poids B ne refifte point a la force ( //avec laquelle le poids Ceft tire fuivant la di rection CH , mais bien a la force C/ avec laquefle il eft tire fuivant la direction C/, & de plus que le poids ^re fifte auffi a cette force. Pour f^avoir de combien, je tire AL perpendiculaire fur CB prolonged du cote de B, & je remarque quefiv/Z?exprimela force avec laquelle le poids ^eft tire fuivant la direction ^5, 5Z exprimeracelleavec laquelle ce meme poids A eft tire fuivant la direction BC > de forte que le poids Cavec la force C7 doit vaincre le poids entier2?,6cde plusunepartie du poidsy^quiefta ce poids A comme BL eft a BA, ou BF a ^C. Si done Ton fait B -H A ** F . C :: DK . K.H, il eft clair que CK fera la direction du poids C , & par confe quen: la tangente en C de la troifieme courbe CO. Si le norabre descourbes e toit plus grand, on trouve- roit de la meme manic re la tangente de la quatrie me, cin- quie me , &c. Et fi Ton vouloit avoir les tangentes des courbes de crites par les points moyens entre les poids, on les trouveroit par 1 arr. 36. SECTION DES iNFINIMENtPlTlTS. 1. Part. 4* SECTION III. du cakul des differences pour troirver les plus vrandes & les moindres appliances, ou fe reduifent les queftions De maximis & minimis. D E F i N i T i o N I. SOix unelignecourbe ^fDAfdontiesapph quees/ A/, FIG. 31. ED , PM foient paralleles entr eiles ; & qui foit telle r- que la coupee ^/>croifTant continuellement, 1 applique e 53- P M croifle aufli jufqu a un certain point , apres lequel 34- elle diminue ; ou au contraire qu elle diminue jufqu a un certain point , apres lequel elle croide. Cela pole, La ligne ED fera nommee la plus gnmde ou la moindre appliquee. D E F i N i T i o N II. Si Ton propofe une quantite telle que PM , qui foit compofee d une ou de plufieurs indeterminees telles que AP, laquelle^7 J croifTant continuellement, cette quan tite PM croifle auffi jufqu a un certain point E , apres le quel elle diminue, ou au contraire ; &qu il faille trouver pour^/ 7 , une valeur AE telle que la quantite Dqui en eft compofee , foit plus grande ou moindre que toute au- tre quantite PM femblablement fcrme e de AP. Cela s appelle une queftion De maximis & minimis. PROPOSITION GE NE RALE. _ nature de la liznc courbe MDM etant donnee i trouvet pour AP une -valetir AE telle que fappliquee ED foit la plus grande on la moindre defe s jemblables PM. Lorfque^/ croiiTant, / Mcroitauffi; il eft evident* que *Art. fa difference Km ferapofitive par rapport a celle de^/ 1 ; 10. 41 ANALYSE fant toujours, fa difference fera negative. Or toure quan- rite qui croitou diminue cominuellement, ne pent deve- nir de pofirive negative, qu elle ne pafTe par 1 infini ou par le zero ; l^avoir par le zero lorfqu elle va d abord en diminuant, & par 1 mfini lorfqu elle va d abord en aug- mentant. D ou il fuitquela difference d unequantite qui exprime un plus gt.ind ou un moindre , doit etre e gale a zero ou a 1 infini. Or la nature de la courbe MDM etant don- *Sttl.i.om. nee, on trouvera*une valeur de Rm, laquelle e rante ga- lee d abord a zero, 6c enfuite a 1 infini, fervira a. decou- vrir la valeur cherchee de^ dansl uneou 1 autrede ces fuppofitions. R E M A R QU E. Fie. 31. 31. 47* --^ tangenceen D eft paralleled 1 axe AB lorfquc la difference jim devient nulle dans ce point; inais lorfl Fi. 33. 34. qu elle devient infinie, la tangente fe confond avec 1 ap- piiquee ED. D ou 1 on voit que la raifon de mK a RM, qui exprime celledel appliqueealafoutangente, eft nulle ou infinie lous le point D. On con^oit ai/emencqu unequantite,quidiminue con- tinuellemenr, ne pent devenir de pofitive negative fans paflerpar le zero ; mais on ne voit pas avec la meme evi dence que lorfqu elle augmcnte, elle doive palTer par 1 in. fini. C eft pourquoi pour aider 1 imagination, foient en- FIG. 31. 31. tendues des tangentes aux points M,D, M - il eft clair dans les courbes ou la tangente en D eft parallele a 1 axe AB , que la foutangente 7 7 augmente continue! lement a me- fure que les points M , P approchent des points D,E; c que le point M tombant en D , elle devient infinie ; & qu enfin lorfque AP furpafle AE , la foutangente PT de-. *Art.io. vienc * negative de pofitive qu elle etoit,ou an contraire. EXEMPLE I- Fi6.3;. 48. SUPPOSONS quex^+^ axyfstPx, PMy, AB = "} exprime la nature de la courbe MDM. On aura en prenant les differences $xxdx *- $yydy = axdy -- aydx, DES INFINIMENT PETIT s. 1. Part. 43 = tty<ix ~^l x x * x = o lorfque le point P tombe fur le point cherchee^,d oul ontirej/= ; Scfubftituantcet- te valeur a la place de^ dans Inequation * *-y =axy, on trouve pour AE une valeur x = |^2 telle que 1 appli- cjue eZ)fer;iplusgrande que routes fes femblables PM. EXEMPLE II. ST. _ .1 O i T y a = a* x a x , 1 e quation qui expri- FIG. 33. me la nature de la courbe^DAf. On aura enprenantles differences, dy = ^f-2== que j egale d abord a zero ; maisparceque cette fuppofition me donne zdx^/a=o qui nepeutfaireconnoitre la valeur de^, j e gale enluice rrr==*~a. l infini,cequi me donne : J i x~= o , d ou Ton Jy x tire .v = a , qui eft la valeur cherchce de AE. EXEMPLE III. une demie roulette accourcie^^/^ 1 , dont la FIG. $6. bafe Bt eft moindre que la demi-tirconfe rence^TV^du cercle generareur qui a pour centre le point C. II faut de terminer le point fur le diametre^-//?, en forte one 1 ap- plique e ED foit la plus grande qu il eft poffible. Ayant mene a difcretion 1 appliquee PM qui coupe le demi-cercle en N , on concevra a 1 ordinaire aux points 3f,2V,lespetits triangles MRm, A ^Ss, & nommant lesin- determine es^T , X ; PN, 2;; l nrcslN,> & les donnees ANB,a ,BF ^ h> C^ouC^, r ,c ,l on aura par la propricte de la roulette ANB (a) . BF (b) -. .- AN (a) . NM . Done PM=t + & fa difference Rm = " * lorfque le point / tombe an point chercLe E. Or les trian gles re dangles NSn, NPC font femblables ; car fi 1 on ote des angles droits CA 7 , PNS Tangle commun CNS, les reftes SNn, PNC feront egaux. Et partant QN (c) . Fij 44 ANALYSE (c x ) . : ?/ (du) . Sn (d^) = c " ~ * . Done en met- tant cette valeur a la place de dz. dans adz^-t- bdu = o, on trouvcra W; ~^.^^ = , d ou 1 on tirera x ( qui eft en ce cas AE ) f + * c . I! eft done evident que fi 1 on prend C du core de B quatrieme proporrionnelle a la demi-circonference^^V^, a la bafe BF, & au rayon C.Z?, le point fera celui qu on cherche. E x E M P L E IV. FIG. jj. JI. \^ ou P E R la ligne donnee AB en un point E , en forte que le produit du quarredel une des parties AE par 1 autre EB, foit le plus grand de tous les autres produits forme s de la merae maniere. A yant noinme 1 inconnue AE,x; &la donnee AB, a; on aura^^f x EB =axx x , qui doit etre un plus grand. C eft pourquoi on imaginera une ligne courbe MDM, telle qne la relation de 1 appliquee MP (y) a la coupce AP (<:) Toit exprimee par 1 e quation y = -^ ,& on cherchera un point E tel que 1 appliquee ED ioit la plus grande de toutes fes Temblables PM> ce qui donne dy Si Ton vent en general que x m x a^-~x" foit un />// ^rand. ^w & peuvent marquer tels nombres qu on voudra),il faudra que la difference de ce produit foit e gale a zero ou al infini,ce qui donne mx m ~ I dx>t. a .Y" na x" ~ dx x x m =: o , d oii en divifantpar x m ~* x a x" -I ^x,l on tire am mx nx o, & AE (x) = - m "^. n a - * Sim = 2,8cn== /, Ton aura^ =2a,&. il faudra alors enoncer le Probleme ainfi. p ie ,__ Prolonger la ligne donnee v^/?du cote de^enunpoint E, en forte que la quantite ~ foit an moindre , 8c non pas un plus. grand i car 1 equacion a la courbe DES IMFINTMENT PITITS. I. Part. 45 -~^ =y, dans laquellefi Ton fuppofeAr=rf, 1 applique e PM qui devient BC fera y , c eft a dire infinie ; & fuppo- fant x infinie, 1 on a.ura.y = x, c eftadire querapplique e fera auffi infinie. Sim=j,&i n = 2, 1 on aura AE-= a , d ou il fuic que Ton doit enoncer le Probleme alors en cette forte. Prolonger la droite donne e AB du_cpte de A en un FIG. . , yfEv^Ji 1 . point E , en forte que la quannte ^ loir plus graa- dequeroureautrequanrirefemblable jp. . E x E M P L E V. j" 2 -- L-,A ligne droire AB e tant divifee en trois parties FIG. AC , CF, FB, il faut couper fa partic du milieu CF au point , en forte que le rapport du rectangle AE x EB au rectangle CE x EF foit moindre que tout autre rapport forme de la meme manie re. Ayant nomme les donnees^C, a , CF,l>i CB , c ; & 1 inconnue CE, x> 1 on aura^ = ^r + x , EB =c x, EFb x , &parrantle rapport faAExEB a CE x EF /era 4 qui doit erre un moindre. C eftpour- qnoi fi 1 on imagine une ligne courbe MDM, telle que la relation de 1 applique e PM(y} a la coupe e CP (x) foic exprime e par requation^= ** ~ axx } JaqueC tion fe reduita trouver pour A; une valenr CE telle que 1 appliquee ED foit la moindre de routes fes femblables PM. On formeradonc (en prenant les differences, &di- vifant enfuite par WAT ) 1 cga.litecxx axx bxx-+-zacx abc = o , donr 1 une des racines re fout la qucftion. Si c =a -t- b } 1 on aura x =. ^b. EXEMPLE VI. J3* E-NTRE tous les Cones qui peuvent erre in/crits Fiij 46 ANALYSE dansun fphere, determiner celuiqui a la plus grande fur- face convexe. FIG. 40. La queftion fe re duit a determiner fur le diametre AB du demi-cercle^/2? le point E , en forte qu ayant mene la perpendiculaire.F, & joint AF,\z reclangle AF x FE foit le plus grand detousfesfemblables^Afx NP. Car fi ] on conceit qnele demi-cercle^/ ^fane une revolution cntiere autour du diametre AB , il eft clair qu il decrira une fphere, & que les triangles rectangles AEF , APN decriront des cones infcrits dans cette fphe re, dont les furfaces convexes decrites par les cordes AE , AN, feronc entr elles comme les rectangles AF x FE , AN x NP. Soitdonc l inconnue^4 = .*:, la donnezAfi = a, on aura par la propriete du cercle 4f =. VMfJK=3/ax xx; & partant AF x FE V^ta<x ax qui doit etre un plus qrand. C efl pourquoi on imaginera un ligne courbevVf D M. tclle que la relation de i appliquee PM (/) a la coupee 4P (x) foit exprimee par 1 equation l^Hi~_lil = y ; & Ton chercherale point , en forte que i .. , \ ;uce^ Z)foit plus grande que toutesfes femblables PM. On a,;radonc i j-fP KSA;^ \xxilx ,, , ,, en prenant la difference -^^~ ^,- = o , d ou 1 on tire EXEMPLE VII. J4 C-/N demande entre touslesParallelepipedesegaux a un cube donne a\ & qui ont pour un de leurs cotes la droice donne e ^, celui qui a la moindre fiiperficie. Nommant x un des deux cotes que Ton cherche , 1 au- tre fera f- x ; & prenant les plans alternatifs des trois cotes b , x, -*i du parallelc pipede, leur fomme f^avoir^-k- ~ + fera la moitie de fa fuperficie qui doit etre un moin dre. C eft pourquoi concevant a 1 ordinaire une ligne eourbe qui ait pour equation ^~ + ~ -+ " =f t I o" trou. DEsTtfFINIMENT PETIT S. /. Pttft. 47 vera en prenant la difference ^ ^r = . d " l on tire xx = ^, & * = v^ j de force que les trois cotes du parallelepipede qui fatisfaic a la queftion , feront le pre mier^, lefecond v^, &: le troifie me V^. D oii Ton voic que les deux cote s que Ton cherchoit, font egaux en- tr eux. EXEMPLE VIII. JJ- CJ/N demande pre fentement entre tousles Paralle- Fis.4i. lepipedcs qui font egaux a un cube donne^ , celui qui a la momdre fuperficie. Nommanc x un des cotes inconnus, il eft clairpar I e- xemple precedent, que les deux autrcs cotes feront cha- cunv^j & partanc la fommc des plans alternacifs qui eft la moicie de la fuperficie, fera ^--t-sVa^x qui doit etrc w moindre. C eft pourquoi ia difference ~^ lr "Y^x = o, d ou Ton tire x ==. <& > & par confequent les deux autrre.s cotes feront auffi chacun =a> deforce que le cube meme donne facisfaic a la queftion. EXEMPLE IX. _j6. LA ligne^/?e cancdonne ede pofition fur un plan ^ IG- + 1 avec deux poincs fixes C, F ; c ayanc menc a un de (es points quelconques P deux droites CP (u) , PF (zjj foit donnee une quancice compofee de ces indecerminees a, & ^, 6c de relies autres droites donne es a, b , &c. qu on voudra. On demande quelle doit etre la pofition des droi tes C, F, afin que la quantite donnee , qui en eft com pofee, foic plus grande ou moindre que cecce meme quan tite lorfqu elle eft compofee des droites CP, PF. Suppofons que les lignes C, EF ayent la pofition re- quife j 6c ayanc joint CF, concevons une ligne courbc DM telle qu ayanc mene a difcretion/ ^A/ perpendiculaire fur CJ,l appiique QM exprime la quantice donnee : il eft clair 48 ANALYSE que le point P tombant au point , 1 appliquee QM qui devienc OD, doit etre ]a moindre ou la plus grande de ton. tes fes fcmblables. II faudra done que fa difference (bit alors e gale a zero ou a 1 infini : c eft pourquoi fi la quan. titedonnee eft par exemple ait-*- z^ Ton aura adu -t- zi^z^ = o, & par confequent da. dz^:-.-22^. a. D ou Ton voic deja que ^doit etre negative par rapport a du > c eft a dire que la pofition des droices CE, EF doit etre telle que croiflant, ^diminue. Maintenant fi Ton meneEGperpendicuIaire a la ligne j4EB, &d un de fes points quelconqucsGles perpendicu- lairesGZ,G/fur C, E.F>&qu ayanttire par le point epris infiniment pres de E, les droites C7v"f, Fe H", on de crive des centres C, F les petits arcs de cercle EK,EH : on formera les triangles rectangles ELG&i ELe, EIG &c EHc, qui fe- ront femblables entr eux ; car fi 1 on ote des angles droits GEc, ZA lememe angle LEe, les reftes ZiG, A ?feronc egaux ; on prouvera de meme que les angles 7G, HEe feront egaux. On aura done GL.GI :: Ke (du) . He ( dz.) ::2^_.a. D ou ilfuit que la pofition des droites CE, EFdoit etre telle qu ayant mene la perpendiculaire EG fur la ligne s4EJl> le finus GZ de Tangle GiCfoit au finus G7 de Tangle GEF, commes les quantite s qui multiplient dz^ font a eel- les qui multiplient du. Ce qu il falloit trouver. COROLLAI RE. 57 ^ J ^ on veut * pre fent que la droite CE foit don- nee de pofition &de grandeur, que la droite .Fle foit de grandeur feulement, & qu il faille trouver fa pofition, il eft clair que Tangle GEC e tant donne , ion finus GZ le fera auffi, & par confequent le finus G/ de Tangle cherche GEF. Done fi Ton decrit un cercle dudiametre EG, &que Ton porte la valeur de G7 fur fa circonrerence de G en / j la droice EF qui pafle par le point / aura la pofition re- quife. Soit au H- ^la quantite donne e ; on trouvera GI "-*L 3 d ou Ton voit que quelque longueur qu on don ne . DES INFINIMENT PETIT s. /. Part. 49 ne a EC & a EF, la pofition de cette derniere fera tou- ioursla meme, puifqu elles n current point dans la valeur dcGI, qui par confequent ne change point. Si a = b, \\ eft clair que la pofition de EF doit etre fur CE prolongee du cote de Ei puifque GZ = G/, lorfque les points C, F tombent de part & d autre de la ligne AEB : mais lorf- qu ils tombent du meme cote, Tangle FEG doit etre pris FIG. 41. egal a Tangle CEG. EXEMPLE X. J9 ]LE cercle ^^ etant donne de pofition avec les FIG. 41 points C, .Fhors dececercle; trouverfur fa circonferen- ce le point E tel que la fomme des droites CE , EF foit la moindre qu il eft poffible. Suppofant que le point E foit celui que Ton cherche, &: menant parle centre O la ligne OEG, il eft clair qu elle fera perpendiculaire fur la circonfe rence AEB ; & parranc *quelesangles7 ; G, CGferontegauxentr eux. Si done Ton mene Effcn forte que Tangle EHO foit egal a Tan gle CEO , & de meme EK en forte que Tangle EKO foic egal a Tangle FEO, & les paralleles ED, EL a OF, OC ; on formera les triangles femblables OCE & OEH, OFE &c ouOB,a; OC,>> OF, c; & les inconnuesOZ) ouZ, x ; DE oa OL ,y ; Ton aura Off = , OK = ~, & HD f x ^) . IDE (y) :: 7CZ (y~). LE (*). Done .VA; ^L^=yy ^, qui eft une equation a une hyper bole que Ton conftruira facilement , & qui coupera le cer- cle an point cherche E. EXEMPLE XI. 59- \J N voyageur partant du lieu Cponraller au lieu FIG. 43. F, doit traverfer deux campagnes feparees par la ligne droite v42?. Onfuppofe qu il parcourt dans la campagne du cote C Tefpace a dans le terns c , & dans Tautre du J ; ANALYSE cote de F I efpaceJ dans le mcme terns t : on demande par quel point de Iadr 01 te^/?ildoit paffer, afin qu il employe le moins de terns qu il eft poffible pour parve- nir dec en F. Si 1 on fait a.CE(u) c . --.Ec b . EF a c ~g- II eft clair que exprime le terns que le voyageur employe a parcourir la droite CE , & de meme que c | exprime celui qu il employe a parcoun r EF J de forte que ~-^- c ~ doit etre un moindre. D ou il fuic . $6. * qu ayant mene EG perpendiculaire fur la Jigne AB> le finus de Tangle GEC dole ecre au linus de Tangle GEF , comme a eft a b. Cela pole, fi Ton de crit du point cherche E comme cen tre de TmtervalleClecercleCG/i 3 &qu on mene iur la droke/?les perpendiculairesC^/^D^^dc fur CE^EF les perpendkulaires GL,G1 > Ton aura a. . b .-.- GL.GI. Or GL ~s/E,ScGI ED, parc.eque le_s triangles redangles GEL &.ECs/, GEJ&iEHDiom egaux&lemblables entr eux, comme il eft facile a prouver. C eftpourquoi fiTonnomme Tinconnue ^,A;iontrouveraD= - .- Scnommant les 5 AC, g > BF,h, les triangles femblables ^ jf;//donneront 2? (f x ) . BF(h) -. .- ED(^), . = ^^- x . Mais a caufedes triangles reclanglesfZ)//, EAC, qui ont leurs hyporenufes EH, Cegales , Ton aura D -- D H == EA -+ AC\ c efta dire en termes analyti- *. = xx - 1 - : De forte otant les fractions, &ordonnant enfuite Te galite, il vien- dra aax* 2.iaf^ -v- aaffxx zaafggx + aaff^ o. bb -t- zbbf -t- ati^y -bbff ~ bbbh On peut encore rrouver cette equation de la maniere qui fuit, fans avoir recours a Texemple 9. DES TNFINIMENT PETIT s. /. Part. yi Ayant nomme comme auparavant les connues AB,f> gi BF,h; & 1 inconnue AE , AT ; on {era. a . CE - au terns que le voyagenr employe a parcourir la droire CE. Et de meme b . EF /./~77- - 7- - 7T~i cV ff ifx -t- xx -t- hh (vff 2fx + xx -t- hh ) : : c . -l ^-j - = au terns que le voyageur employe a parcourir la droice EF. Ce qui fera cV " + xx -H 2^7 - ^ ^J^f = d un 5 & partanc fa difference V}) i/x-t-xx -t- ku = o ; d ou Ton tire , en divifanc par cdx 6c en otant les in- comtnenfurabies, la meme egalice que ci devant , done 1 une des racines fournira pour AE la valeur qu ou cher- che. EXEMPLE XII. ^ 3oiT une poulie F qui pend librcment au bout FIG. 44, d une corde CF attaJiee en C, avec un plomb D fuf- pendu par la corde DFB qui paffe au deffus de la poulie F, 5c qui eft attache e en B , en forte que les points C, B font fitues dans la meme ligne horizontale CJ3. On fup. pofeque la poulie &c lescordesn ayent aucune pefanteur ; 6c I on demande en quel endroit le plomb D on la poulie JF doir s arreter. II eft clair par les principes de la Mecanique que le plomb D defcendra le plus bas qu il lui fera poffible , au deflbus de 1 horizontale C13 ; d oii il fuic que la ligne a plomb DFE doic etre unpins grand. C eft pourquoi nom- mant les donnees CF, a; DFB,b; CB, c ; & 1 inconnue CE, x; Ton aura EF= Vaa xx , FJB = &.DFE l> Vaa-rcc 2cx + Vaa xx qui doit etre ton flus grand; Scpartant fa difFerence _./!* ___ _.._ f^i y a- 5= o , d ou Ton tire zcx 2ccxx aaxx -t- aacc = o , 8c Gij 5* ANALYSE divifatlt par A: r, il vienc zcxx aax aac^=o , dont 1 une des racines fournic pour CE une valeur telle qae la perpendicuiaJre ED paffe par la poulie F & le plomb D lorlqu ils font en repos. On pourroic encore refoudre cecte queftion d uneau- tre maniere que void. Nommant EF,y-, SF, zj Ton aura I % + y = a un flui grand; &partant dy = dz^ Or il eft clair que la pou- lie F decrit le cercle CF A aucour du point C comme centre ; & partant fi du point /pris infinimentpres de F, 1 on mene/^parallele a Cli , c fs perpendiculaire Gir 27^, Ton aura FR==dy, Sc FS =dz.. Elles feronc done cgales entr elles ; &: par confequent les petits triangles re- ftangles PRf, FSf, qui one de plus 1 hypotenufe Ffcom- mune, feront e gaux & femblables ; d ou Ton voic que Tan gle RFfeft e gal a Tangle SFf, c eft a dire que le point F doit etre tellement fitue dans la circonference FA> que les angles faitspar les droites EF, F furies tangenres en F foient egaux entr eux : on bien ( ce qui revient au meme) que les angles BFC, DFC foient e gaux, Cela pofe, fi Ton mene FIf,en forte que Tangle FHC foit egal a Tangle CF B ou CFD; les triangles CBF,CFH feronc femblables ; comme auffi les triangles re ftangles ECF.EFH, puifque Tangle Cf eft egal a Tangle Ff/,etant Tun & Tau- tre le complement a deux droits, des angles egaux FHC,, CFD i & par confequent on aura CH ^&HE (x ^). F (y) : : EF (y) . EC (x). Done xx ^f r= yy = a* xx par la propriete du cercle , d ou Ton tire la meme egalite que ci-devant. EXEMPLE XIII. Fie. 45. 6l. L E L E V A T i o N du pole e tant donnee ,- trouver le jour .du plus petit crepufcuje. SoitCle centre de la fphe re ; APTOBHQ\z meridien ; le cercle crepufculaire parallele DES INFINIMENT P ETITS. i. Part. 53 a 1 horifon ; /4JW TV .2? 1 equateur; FE DG la portion du pa- rallele a 1 e quateur, que decnt le Soleil le jour du plus pent crepuicule, renferme e entre les plans de 1 horifon & du cercle cre ptifculaire;/>le pole auftral , PEM^ t DN des quarts de cercies dedeclinaiion. L arc HQs>u O7"du mendien compris entre 1 horifon c le cercle crepufcu- laire,c 1 arc OP de I e levation du pole font donnes; &c par confe quent leurs finus droits C/ou f L ou ^}~> & OP. L on cherche le finus CK de 1 arc E M ou D N de la decli- mifon du Soleil lorfqu il decrit le parallele ED. S imaginant uneautre portion/^ d un paralleleaTe- quateur , infiniment proche de F EDG, avee les quarts de cercies Pern, Pdn , il eft clair que le temps que ie Soleil employe a parcourir 1 arc D, devant ecre unmoindre, la difference de I arc A/A^qui en eft la mefi>re , & qui de- vient mn lorfque ED devient ed , doit etre nulle ^ d oti il fuitquelespetits arcs Mm, Nn, & par confequent les pe- titsarcs Re, Sd, ferontegaux encr eux Or les arcs RE, SD etanc renfermes entre les memes paralleles ED, td, font auflj egaux, & les angles en S &: en R font drafts. Done les petits triangles rectangles ERe, DSd( que Ton confide re comme rectilignes *a caufe de 1 infinie petitefle de leurs * cotes), feront egaux & femblables ; &: par confequent les hypotenufes Ee, Dd feront auffi egales entr elles. Cela pofe, les droites DG,F, dg, ^/communes feclions des plans FEDG,fedg paralleles a 1 equateur , avec 1 hori- zon & le cercle crepufculaire, feront perpendiculaires fur les diametres//0, jT, puifque les plans de tous ces cercies font perpendiculaires chacun fur le plan du meri- dien ; & les petites droites Gg, Ff feront egales entr elles, puifque les droites FG.fg font paralleles. Done /cQ ITg ou DG dg =^~Ee : Yf oufe FE. Or il eft clair par ce que Ton a demonrre dans 1 article 50. que fi Ton mene a difcre cion dans un demi-cercle deux applique es infiniment proches, le petit arc qu ellesrenfermen^fera Giij 54 ANALYSE aleur difference, comme le rayon eft a la coupee depuis le centre, ce qui donne ici ( a caufe des cercles HDO, J^ET} CO . CG : : Dd ou e.DG dg oufe f : : /^ IF :: C0-t-/j9ou Qjf. CG-*-IfouGL. Mais a caufe des triangles rectangles femblables C7^0, CKG, FLG, Ton aura CO . CG :: 0V. GK. EC GK.GL :: CK.FL on QJT. Done Or. CK :: OJ. ^3^ A Q JTHpar la propnere du cer- cle : c efta dire que ii 1 on prend 2^"P olir ^ rayon oufi- nus total dans ie triangle rectangle JJJfH", done 1 angle ffQ^A e(\ de 9 degres, parceque les Attronomesfontl arc JFf^de iS degres , 1 on aura comme le finus total eft a la tangente de 9 degres, de meme le finus de 1 elevation du pole eft au finus de ladeclinaifon auftrale du Soleil dans Ie temps du plus petit cre pufcule. D ou il (uit que fi 1 on ote o. 8001875 du logarithme du finus de 1 elevation du pole -, le refte fera le logarithme du finus cherche. Ce qu il falloic trouver. DES INFINIMENT PETITS. 1. Part. 5$ SECTION IV. du calcul des differences pour trotwer les points /inflexion <& de rebrouficment. CO M M E 1 on fe fervira dans la fuire des differences fecondes , troifie mes, &c. il eft ne ceflaire d en don- ner une idee avant que d aller plus loin. D E F I N I T I O N I. La portion infiniment petite dont la difference d une quantire variable augmenteoudiminue continuellcment, eft appellee la difference de la difference de cerce qiiantire , ou bien fa difference feconde. Ainfifil on imagine une troi- /le me applique e nq infimmenc proche de la feconde mp , p IG . s &qu on menemS paralleled j!B, tmH paralleled RS i on appellera Hn la difference de la difference Jim, ou bien la difference feconde de PM. De meme fi 1 on imagine une quatrieme appliquce of infiniment proche de la troifie me ^, & qu on mene nT parallele a AB, & nL parallele a ST ; on appellera la dif ference des petites droires Hn, Lo, la difference de la diffe rence feconde , ou bien \a.difference troiJiemeAePM. Etainli des autres. AvERTISSEMENT. On marquera dam lafuite chaque difference far un nombre de d qui en expnme I ordre ou le genre. Par exemple, on marquera far dd la difference feconde ou dufccond genre; par ddd , la difference troifieme ou du troijieme genre ;/wdddd, Indifferen ce quatrieme ou du quatrieme genre , & de meme des autres. Ainft^exfrimera Hn ; dddy, Lo Hno Hn Lo^r. ^uant aux puijjances de ces differences, on les marquerafar des chiffres foflerieurs mis au deffus , comme I on fait ordinairement celles des grandeurs entieres. Parexemfle, le quarre, ou Ic cube 56 ANALYSE ddy ; teiui de dddy far* dddy 1 , ou dddy ; telul de ddddy fera. ddddy 1 , ou ddddy , &c. COROLLAIRE I. 6l. ^ i I onnommechacune descoupees^/ ,.^/>,^fj^/i x j chacune des appliquees /M<f,/>2, qn, fa, /; & chaeune des portions comb$AM,s4m,An,Ao,u , il eft clair que ^AT exprimerales differences Pf,pq,qfdcs coupees ; dy les dif ferences Rm,Sn, 7*0 des appliquees 5 &&lt;/ les differences Mm, mn, no des portions de la courbe AMD. Or afinde prendre, parexemple, la difference feconde// dela va riable PM, il faut imaginer fur 1 axe deux petites parties Pf,fq, & furlacourbedeuxautres Afm, mn pour avoir les deux differences Rm, S"H j fcpartantfi Ton fuppofe que les petites parties Pj>,pq foien t egales entr elles ; il eft clair que dx fera conftante par rapport a dy & a du, puifque Pf qui devient/Y demeurelameme pendant queJZwqui de_vienc Sn, c Mm qui devient mn, varienc. On pourroit fuppofer que les petites parties de la courbe Mm, mn ferojent ega les entr elles, & alors du feroit conftante par rapport a dx & a dy ; & enfin fi Ton fuppofoit que Rm c Sn fuflent ega les, dy feroit conftante par rapport a dx &a du, 5c fa dif ference Hn(ddy) feroit nulle. De meme pour prendre la difference troifie me de/ JV/, oula difference dela difference feconde Hn, il faut ima giner fur 1 axe trois petires parties Pp, pq, qf\ fur la courbe trois autres Mm, mn, no ; & fur les appliquees auffi trois au- tresRm,Sn,To,t alors on aura dx ou du oudy pour con ftante, felon qu on fuppofera que les petites parties Pp, pq, qf, ou Mm, mn, no, ou Rm,Sn,To font e gales entr elles. II en eftde meme des differences quatriemes, cinquie mes, &c. TIG. 47. Tout cecife doit auffi entendre des coarbes^MD, done les appliquees BM,Bm,Bn partent toutes d un point fixe^?i car pour avoir , par e xemple, la difference (econde de B M, ilfaut imaginer deux autres appliqnees Bm, Bn<\^\ fiiiTenc des angles MBm, mBn infiniment petits , & ayant de crit d u centred les petits arcs de cercle MR,mS> la difference des DES INFINIMENT PETIT s. 1. P<trt. 57 des petites d roices Rm,SnSera la difference feconde dc EM; &l onpourra prcndre pour conftants les petits arcsyW-ft, mS, on les petites portions de la courBe 3fw, , ou enfin les petites droices Rm,Sn. Il-envade meme pour les diffe rences troille mes, quatrie mes, &c. de Pappliquee.Z?.A/. R E M A R QJJ E. 6j. ON doitbien remarquer, i. Qu i! ya difFe rensor- Fie. dres d infinimenc petits : que Rm, par exemple , eft infini- ment petite par rapport a PM, &infinimenc grande par rapport a Hn ; de me me que 1 efpace MPpm eft infiniment petit par rapport a 1 efpace AP M, & infinimenc grand par rapport au triangle MRm. 1. Que la difference entic re /"/eft encore infinimenc petite par rapport a AP i parceque toure quancite qui eft Ja fbmme d un nombre fini de quantites infinimenc peti- ces telles que Pp, pq, qf par rapport a une autre AP, de- meure toujours infinimenc petite par rapport a cette me- me quantite : Scqu afm qu elle devienne du meme ordre, il faut que le nombre des quantites de 1 ordre inferieur qui la compofej foit infini. COB.OLLAIR.E II. 64- ON peut marquer en cette forte les differences fe- condesdans toutes les luppofitions poffibles. 1. Dans les courbes ou les applique es fnR,nSfont pa- Fie. ralleles entr elles, on prolongera la petite droite Mm en 4J> H ou elle rencontre rappliquee Sn , & ayanc decrit du. centres, de l- intcrvalle mn, 1 arc /t, on tirera les petites droites /, //., ^gparallelesa;5&a Sn. Celapofe^fi Ton veuc que dx foit conftame, c efl a dire que MR /bit e ga- lea mS> il eft clair que le triangle mSH eft femblable &: egal au triangle MRm, 8c qu amfi/fweft ddy, c eft a dire la difference de Rm & Sn, &C Hk=ddu. Mais (I Ton fup- pofe que du foit conftante, c eft a dire que Mm = mn. ou a mk il eft evident alors que le triangle mgk eft fem blable & egal au triangle MRm , 6c qu amfi kc ~ ddy , Sc j8 ANALYSE Sg ou en = ddx. Enfin II 1 on prend dy pour conftante , c eft a dire mR =nS, il s enfuic que le triangle mil eft egal & femblable au triangle MRm, & qu amfi iS ou nl Fis. 50. ji. 1. Dans les courbes dont les appliquees 2?JW, J?T, Z? par- tent d un meme point .Z?, Ton decnra du centre B les arcs *An. 3. A#, OTS, que Ton regardera* comme de petites droites perpendiculairesfur^w, Bn -> & ayant prolonge Mm en , & decrit du centre /, de 1 mtervalle w, le petit arc nkE, on fera Tangle EmH= mBn, &i 1 on tirera les petites droi tes nl, /; , keg paraileles a mS Sc a 5. Cela pole , a caufe du triangle BSm redlangle en 5, Tangle BmS -t- wJS, ou -H jEwWvaut undroit ,6c partant Tangle j?z vaut undroit -t- 6wH ;il vautaufli ledroit MRm-+~RMm, pLiifqu il eft externe au triangle RMm. Done Tangle SmH RMm. II fuit dececi, i. Que ii Ton veutque^foicconftante, c eft a dire que les petits arcs MR, mS foient egaux en- tr eux, le triangle SmH fera femblable &egal au triangle RMm , & qu ainii Hn = ddy , &. //^ = ddu. 1. Que (I 1 on prend ^a pour conftante , le triangle gmk fera fembla ble & egal au triangle R Mm , & qu ainfi kc exprimera ddy & Sg ou rw, *WAT. Enfin, 3. Que fi Ton prend dy pour con- ftante, les triangles tml, RMm feront e gaux Sc fembla- Llesj 8c qu ainfi iS ou / = ^x, & Ik ddu. PROPOSITION I. Problemc. &$ y R E N D R E la difference d une quantite compofee de differences quelconques. On prendra pour conftante la difFe rence que Ton vou- dra, & traittant les autres comme des quantites varia bles, on fe fervira des regies prefcrites dans la Section premiere. La difference de -^ , en prenant dx pour conftante fera d f+? dli ?, &.**&-&* * en prenant^ pour conftante. DES ItfFINlMBNT PETITS. l.Tdft. J9 de "-^^ , en prenant <k pour conftante, fera Apj* * Mdy le tout divife par^x, c eft a dire Yiix -^-dy 5 & en prenanc^ pour conftante, elle *- dy\ le tout Vrf* 1 -f- ( ...,-, ,, nv j- Az.d diviic par rfx 1 , c eft a dire La difference de -=^==, en prenant ^x pour con. /* w^r *T~ w^y ftante, fera df+yddyl dx" + df y^j le tout di " /- f i ; - > /T- J dx-dy*--*- dyi-+-vd.i- I dtiy - vile par ^x -t- rfjr*. c eft a dire _: ; - - & en 4x L -4r it/Wax--* rfj,i n 1 1 / Ax^-dr + .Vy* sd-idxddx prenant ^ pour conftante, elle (era - _ ..,, , -t-v La difference de -- 1 , n , / _ idxdvddfidx- nzntdx pour conftante, (era Mais il faut obferver que dans ce dernier cas il n eft pas libre de prendre dy pour conftante, car dans cette fup- pofition fa difference ddy feroit nulle j 6c par confequenc elle ne devroit pas fe rencontrer dans la quantite propo- fee. Dz FINITJON II. Lorfqu une ligne courbe AFK eft en partie concave p ie> , lf ,, & en partie convexe vers une ligne droite AB ou vers 54-5;. un point fixe E; le point F qui fe pare la partie concave de la convexe, & qui par confequent eft la fin de 1 une & le commencement de 1 autre, eft appelle point ^infle xion^ lorfque la courbe etant parvenue en F continue fon chemin vers le meme cote : & point de rebrouffement lors qu elle rebroufle chemin du cote de fon origine. Hij o ANALYSE PROPOSITION II. Probleme general. 66. JL.A natutede la ligne courbe AFK etant donnec , deter miner ic point d inflexion ou de rebroujfement F. FIG. 51.53. Supofonsen premier lieu que la ligne courbe AFK ait pour diametre une ligne droice^^>, & quefesapplique es PM, EF, &c. foienc touces paralleles entr elles. Si 1 on me- nepar le point .F, 1 applique e.F.Eavec la tangente.FZ; &: par un point quelconquc M de la partie AF, une appli- que e MP avec une tangente MT .- il eft clair, i. Dans les courbes qui one un point d inflexion , que la coupee APcioiSkm continuellement , la parcie^Fdu diametre , intercepted entre 1 origine des x Sc la rencontre dela rangente, croit auflijufqu a ce que le point P com be en , aprcs quoi elle va en diminuant ; d ou Ton voic que AT etant appliquee en JP, doit devenir un flus grand AL lorfque le point P combe fur le point cherche . z. Dans celles qui ont un point de rebrouflemenr, que la parcie AT croiflanc continuellement, la coupee AP croit auffi jufqu a cequele point7"tombe enZ, apresquoi elle va en diminuanc ; d ou 1 on volt que AP ccanc appli quee en 2"doit devenir unflusgrandAE lorfque le point T combe en Z. done la difference , qui eft ^- > - Vr ~ 1 /" / /v dx ( en fupofant dx conftante ) , etant divifee par dx difference de AE, doit * -Art. +7. etre*nu!le ou infinie ; cc quidonne y -~ == o ou a I in- fini .- de forte que mulciplianc par dy\ 8i divifant par /, il vient ddy = o ou al infini ; ce qui fervira dans la fuitede formule generale pour trouver le point d inflexion ou de rebroufTement F. Car la nature de la courbe AFK. etant donne e, Ton aura une valeur de dy en dx > & pre- nant la difference de cette valeur,, en fuppofant dx con- ftante, on trouvera une valeur de ddy en dx \ laquelle ccanc egalee d abord a zero , 6c enfuite a 1 infini , fervira DES INFINIMENT PETIT s. 7. Part. &i dans 1 une ou 1 autre de ces fuppofiuons a crouver pour AE une valeur telle que 1 appliquee EF ailie couper la courbe^^/Cau point d infle xion oude rebrouflement F. L origine A des x pent cere tellemenc ficue que AL = x -^, aulieude^j x, & que A L oa A E fait un moin- dre an lieu d etre un plus grand: mais comme la confequen- ce eft toujours la meme , & que cel a ne peut faire aucune difficult^, je ne m y arreterai pas. II eft a remarquer que ^Znepeutjamaisetre^xH-^, carlorfque le point T tombe de 1 autre cote du point P, par rapport a 1 origine A des x , la valeur de 3 -^j (era negative fuivant Particle i o, & par confe quent celle de 2Aj fera pofitive , de forte qu on aura encore en ce cas ^ -+- Z . ouA=x y ~. La meme chofe fe peut encore trou ver de cette autre ma- niere. 11 eft clair qu enprenantdxpourconftante, cfuppo- FIG. 48. 49. fant que 1 appliquee^ augmente, 6 eft moindre que5// ou queJ2z dans la parne concave,& plusgrande dans la conve- xe. D ou Ton voit que la valenr de Hn (ddy ) doit devenir de pofitive negative fous le point d inflexion ou de rebroufle- ment^J&partant *qu elley doitetre ou nulle ou infinie. *Art. 47. Suppo/onsenfecondlieuquelacourbe^FA ait pour ap- p IG _ ^. ^. plique es les droites^5Af, BF>BM, qui partent routes d un meme point 2?. Si I onmenetclleappliquee^JJl/ qu on vou. FIG. $6. 57. dra, avec une tangente MT qui rencontre .Z?;Tperpendi- culaire a EM an point T > & qu ayant pris le point m infi- nimenc pres de yVf, 1 on tire 1 appliquee Urn, la tangente mt, &laperpendicu!aire^/ur^w,qui rencontre MTcnOi il eft vifible ( en fuppofant que 1 appliquee BM, qui devienc J3m, augmente) que dans la partie concave 3 _Z?^furpafTe.Z?0, & qu au contraire elle eft moindre dans la partie convexe ; de forte que fous le point d infle xion oude rebrouflement F, la valeur de Otdoit devenir de pofitive negative. Cela pofe, fi 1 on decrit du centred les petits arcs de FIG. $6. cercleM., T H",onformera les triangles fernblableswXAf, MET, THO, 5cles petits fedleurs femblables2?vV^, BTH. Nommant done BM^y > MR, dx ~, 1 on aura mR (dy) . RM Hiij 61 ANALYSE (dx) : : BM(y) .ST=^:: MR (dx) . TH ~ % : : T H ^;. //0=^. Or fi Ton prend la difference de^r^/ en fuppofant dx conftante, il vient Et BT ou Ht = * rd " " d r x< " y & partant OH-*-Htou Of = "-^ r^-^. D ouilfuit en mukiplianc par dy 1 , &divifant par dx, que la valeur de dx - -t- dy ~ yddy fera nulle ou infinie fous le point d inflexion ou de rebrouilement F. Or la nature de Fie. 54. 55. la ligne AFK. etant donnee, Ton aura des valeurs de^eri dx , &de ddy en dx\ lefquelles etant fubftituees dans dx* *- dy~ yddy^ formeront unequantice , qui etant egalee d abord a zero, &enfuite a rinfini.,fervira a trouverpour BF une valeur telle que de crivant du centre B, & de ce rayon un cercle , il coupera la courbe ^FK au point d in flexion ou de rebrouflement F. Ce qui e toit propofe. FIG. 50. 51. Pour trouver encore la meme choie d une autre manie re, il faut confiderer que dans lapartie concave I angle BmE forpafle Tangle Bmn, & qu au contrairedans laconvexe il FIG. 50. eft moindre ;& partant que Tangle BmE Bmn ou Emn, c eft a dire 1 arc En qui en eft la mefure , devient de pofitif negatif fous le point cherche F. Or prenant^.v pour con. ftante, les triangles rectangles femblables HmS, Hnk, donneront Hm (du) . mS (d*) : : Hn ( ddy) .nk ^ . ou Ton doit obferver que la valeur de Hn eft negative , parceque Bm (y) croiflant, Rm (Ay) diminue. Mais a caufe dcs fedeurs femblables mS ,mEk,\ on aura Bm ft) . mS (dx) : : mE (da) . Ek = ^~ , & partant E&-+- kn ou En = FIG. 54. 55. rl " ^" x 1 11 D ou il fuit en multipliant par^/rf, & divf- fant par dx, que dif yddy ou dx 2 - +- Ay yddy doit de- venir de pofitive, negative fous le point cherche F. Si Ton fuppofe quej devienne infinie, les cermeso&c* & dy l feront nuls par rapport au termeyddy ; & par confe- quent la formule dx* + df- yddy = o ou a 1 infini , fe changera en cette autre yddy = o ou a 1 infini , c eft a dire en divifant par y, ddy = o ou a 1 infini , qui eft la formule du premier cas. Ce qui doit aufli arriver, puifque r> 3 8. E P A B A PET J 4 8. i c- / ii/ DES INFINIMENT PlTITS. 7. Part. 6} les applique es.SA/, J3F, EM deviennenc alors parallels. COROLLA: RE. L o R. s QJJ E ddy = o , il eft clair que la difference FIG. 51. doit ecre nulle par rapport a celle de AE j & par- tant que lesdeuxtangenr.es infiniment proches_FZ,/Zdoi- vent tomber 1 unefur 1 autre, en nefaifant qu une feule li gne droite/]FZ. Mais lorfque<^/x a 1 infini, la difference FIS.JJ. de AL doit 6tre infiniment grande par rapport a celle de AE , ou ( ce qui eft la me me choie ) la difference de AE eft infiniment petite par rapport a celle deAL J&par con- fequent Ton peut mener par le meme point F deux tan- gentes FL, fl qui failent entr elles un angle infiniment petit LFl. De meme lorfque (/v 1 -*-^ 1 yddy=o,i\ eftvifibleque FIG. 56. 57. O/ doitdevenir nulle par rapport aA/JJj&cqu ainfiles deux tangentes infiniment proches M r, mt , doivent tomber 1 unefur 1 autre, lorfque le point M devient un pointd in- flexion ou de rebrouflement : mais au contraire lorfque dx 1 -*- dy- yddy = a 1 mfini, Of doit etre infinie par rap port a MR, ou ( ce qui eft la mfime chofe ) MR infini ment petite par rapport a Of, 8cpar confequentlepointw doit tomber fur le point M , c eft a dire qu on peut me ner par le meme point M deux tangentes qui faflent en tr elles un angle infiniment petit, lorfque ce point devient un point d inflexion ou de rebrouflement. Il eft evident que la tangente au point d inflexion ou de rebrouflement F, etant prolongee , touche & coupe la courbe AFK dans ce meme point. EXEMPLE I- do. 3 o i T une ligne courbe AFK qui air pour diame- FIG. jS. tre la ligne droite /) B , & qui foit telle que la relation de la. coupee^JS (x) a l applique eF (y) ^ foit exprimee par 1 equation axx = x *y -t- aay. II s agit de trou ver pour AE une valeur telle que 1 appliquee f rencontre la courbe au point d inflexion F. <>4 ANALYSE L equation a la courbe eftj/ x " aa ; & partant <^ = -- : "" *.!*-, , & prenant ia difference de cetce quantite en xx+.aa ;* fuppofant A conftante , & 1 egalant enfuite a zero, on trouve " " * * "^ ** " ~ rf x 10 ; ce qui tnul. ATX -t- <J* tiplieparx* -t- <^ 4 , & divife par 2a~dx l x xx -*- </<*, dorme ^x -t- <^ ^..\:x= o, d ou Ton tire ^ ^ = a V\. Si J on met a la place de xx fa valeur j^^ dans Pequa- tion a la courbe y = a;C3; . on trouve EF (y) & > de xx -t- L// forte qu on pent determiner le point d infle xion F fans fuppofer que la courbe AFK foit de crice. Si I on niene ^C parallele aux appliquees EF, & e ga- lea la droite donne e .7, & qu on tire CG parallele a j4B , elle fera afympcote de la courbe AFK^ Car fi I on (uppo. fe x infinie , on pourra prendre xx ponr xx -- aa > & par tant 1 equation a Ja courbej/ =-^~ ^fe changera ea celle-ci y~a. EXEMPLE II. = A* a 5 dx l = , f </ -7 , en prenant ^A; * ) i^y^; n pour conftante. Or fi I on fuppofe cette fraction egale a 2ero, on trouve 6dx i = o ; ce qui ne faifant rien con- noitre, il la faut fuppofer infiniment grande ; &par con- fequent fon denominateur 2/^F^T^ 7 infiniment petit ou zero. D ou 1 inconnue AE (x) = a. EXEMPLE III. Fie. 59. 70. Soirune demi roulette allongc e^.F^ dont la bafe BK. forpaffe lademi-circonfe rence^/D^du cercle genera, teur qui a pour centre le point C. II s agit de determiner fur DES INFINIMENT PBTITS. l. part. j ill r le diamecre AB, le point , en forte que 1 appliquee EF aille rencontrer la roulette an point d infle xion F, Ayant nommeksconnuesAD,a ,BK s t> >AB, 2C; 8c les inconnues AE , x > ED, z. ; Tare AD , a 5 EF, y > 1 on aura par la propriete de la roulette y = >(.-*-- > & par- tant dy=dz^-*- . Or par la propriete ducerclel on aura cdx xdx - j , t~, ; r, cdx 1 ^ YiCX XX ^ " YlCX~XX* Done mettant pour dzj& dti leurs valeurs, on trouve dy __ If^rr^f^lf^dont ] a diffcrence(en prenant ofx pour n cv #fc kccxdx* j, \ t, conftante)donne-== rr== =ojaoutontire^JS ICA- A * X yiiu- ** II eft clair qu afin qu il y ait un point d infle xion F, il faut que b furpaiTe^ ; car s il etoit moindre, CE furpafle- roit CB. EXEMPLE IV. yi. ON demande le point d infle xion F de la Con- FIG. <?o, choi de AFK.AQ Nicomede , laquelle a pour pole le point /", &: pour afymptote la droite BC. Sa propriete eft telle qu ayant mene du pole P aun de fes points quelconques fla droite PF, qui rencontre 1 afymptote BC en Z) 5 la pai-tieD^eft toujours e gale a une meme droite donnee^/. Ayant mene / ^/perpendiculaire, &/ parallelea^?C , on nommera les connues^Z? ou F D, a 5 BP^b , ik les in- connues^f, x; EF,y, &: tirant DL parallele a BA , les triangles femblables DLF, PEF donneront T>L (.-,-). LF PE (!,+ x) , EF (y) = done la difference eft <^ = --^ = Si done on prend la difference de cette qu.mtire, & qu on t e gale a zerOj on formera 1 egalite - aax* \aabx xx I 66 ANALYSE qui fe re duit a * + jhxx 2aub = o , dont I une des ra- cines fournic pour BE la valeur cherchee. Si a =b, 1 equation precedence fe changera en cette autre x^-t-jaxx 2* o,laquelle etantdivifeeparx-+-^, donnejoc -i- zax 2aa=o; & partant BE (x) = a ^[atrement. En prenant pour appliquees les lignes PF qui partent *Art. 66. du pole />, & en fe fervant de la formule * yddy = dx? *- dy\ dans laquelle dx a ere fuppofee conftanre. Ayanc imagine une autre appliquee />/qui fafle avec PF 1 angle JFPfinfiniment petit, & decritdu centre / lespetits arcs JFG, DH,onnommera.\esconnues^4B,a;llP,l>;&.\esin- connues PF,y> PD, ^ i & Ton aura par la propnete de la concho ide/ = ^-+- a , ce qui donne dy = dz^ Or a caufe du triangle tc&Aog\&DSP t DB==Vg^^tl>} &a caufe des triangles femblables DBP ScdHD, PDH 6c PFG, Ton aura DB (V^j^Uj. BP (b) -. ; -nldz. r-v, \ i, i D ou 1 on tire ou dont la difference eft ( en fuppofant dx conftante ) dd tant pour a^fa valeur. Done fi 1 on fubftitue dans la * A-t. 66. formule generale *yddy = ^ -t- </y l a la place de _y fa valeur ^-*- a, &t de dy & ^/y les valeurs que Ton vienc de trouver en dx 8c /.v l ; on formers cetce equation qui abb o, done 1 une des racines augmente e de a fournit la valeur de 1 inconnue PF. Si a =!>, 1 on aura 2^ 3**^ /* = <, qui e tantdivi- fee par 2^-t- rf, donne 2^ rf^ ~ = o, dont la re folu- tion fournit PI DES INFINIMENT PETIT s. 1. Part. 67 EXEMPLE V. y 2 " SOIT une autre efpece de Conchoide AIK, tclle FIG. 60. qu ayant mene d un de les points qifelconques F au pole P la droite PF qui coupe 1 afymptote HCen D, le redan- gle PD * O.F foit coujours e gal au meme rectangle PB x BA. On demande le point d inflexion F. Si Ton nomine les inconnues BE, x ; EF,y ; &: les con- nues AB,a-, BP,b; on aura PD *DF=ab; 8desparal- leles.GD, EF donneront/ 1 !) x DF(ab) . PB *BE (bx} : : l F L ( bb -*- abx -t- xx -+- yy } JE 1 ( bb -*- zbx +- XX ) Done bbx -t- 2&xx + x 1 -t- yyx = abb + 2^^ -- ^,VAT , ou atb-i-iabx-ir axx bbx ibxx x< yy= = Vax xx H- I? V* v * , done la difference donne </y axdx -4-i.vW.v -|- /*d# o t t - /**< = ^y,,* **" 5 & prenant encore la difference, on forme 1 e galite ~ ~ = o, qui fe reduic a x = ~ T- valeur de 1 inconnue BE. * -t- 4 c~ l> " i axilx -jrucxdx ^* *bdx . i ; i \ Silonfait - - _ valeur de^/egal a zero, 1 on aura xx {ax -t- \ab = o,donc les deux racines + yaa ~ 8 - 1 ^ & *~" y < g 8a& fniirniffpnr. lorfque a fur- paffe<?^, deux valeurs dsBH&BL, relies que Tappliquee FIG. <ji. /fvW eft moindre quefes voifines, 6irappliqueeZA/plus grande , c eft a dire que les tangentes en M & N feront paralleles a 1 axe AB j 6i alors le point E tombera entre les points// & Z. Mais lorfque a 8b, les lignes B ff,BE,Z feront ega- Fi les chacune a ~a^ & alors la tangente au point d infle- xinn F fera parallele a 1 axe AB. Et enfin lorfque a eft moindre que $b , les deux racines feront imaginairesj 6c par confe quent il n y aura aucune tangente qui puiffe etre parallele a 1 axe, a- FIG. 68 ANALYSE On pourroic encore re fond re cetce queftion en prenant FIG. <J . pour appliquees les li^nesPF, Pf, quipartent dupole/>, & en fe (ervant de la foi:mu\e yddy = dx l + dy\ comme Ton a fait dans 1 exemple precedent. EXEMPLE VI. IG. 63. 73. J} i T un cercle AED qui ait pour centre !e point B> avec uneligne courbe ^.FJCtelleqii ayanc mene a dif- cretion le rayon BFE, le quarre de FE foit egai au redan- gle de l arc^ par une droite donnee b. II faut determi ner dans cette courbe le point d inflexion F. Ayant nomine 1 arc A E ,;; le rayon Ao\.\ BE , a; : I appliquee BF,y ; on aura bz,=aa 2<*y-*-yy> & (en pre- nant les difFercnces ) iyd) ~^ "^ = d^= Ee. Or a caufe des fedeurs femblables BEe , BFG, on fera BE (a) . BF (y) : : Ee (y*L^*L) . FG (dx) yztL^Z&L , dont la difference, en fuppofant c/xconftante, donne ^.ydy- zady H- zyyddy 2ayddy = oi & partant_) ^> = aii y ~ ^ dy - . Si done on fubftitue a la place de dx % Szyddv leurs valeurs * Art. 66. en^y -danslafi)rmulegenerale*y^c/y=:fx 1 -*-4 N on :orme " i, > ady* lydy* 4 t^ii t* %y*dy* -t- iititfyAy 1 -<- aatiiiy quife reduit a ^.y 1 12 ay* -\ri2Jay ^.a yy-^-jaabby 2a bb -o t dont la refolution fournirapourj5f la valeur cher- chee. II eft evident que la courbe AFK, que Ton pent appel- ler une Spirals parabolique ,do\t avoirun point d inflexioa F. Car la circonference AED ne differant pas d abord fen- fiblementde la tangente en A t il fuit de la nature de la parabole qu elle doit d abord etre concave vers cette tan gente, &: qu enfuite la courbure de la circonference au- tour de Ton centre devenant fenfible, elle doit devenir con cave vers ce centre. DES INFINIMENT PETIT s. /. Part. 69 EXEMPLE VII. 74 So i T une ligne courbe AFK. qui air pour axe la FIG. 64. ciroite^.5, dontlapropriete foit tclle qu ayant mene une tangente quelconque FB qui rencontre AE an point 7?, Ja partie intercepted ^.ZJfoit toujou rs a la tangente BFcn raifon donnee de m a . II eft queftion de determiner le point de rebrouflement F. Ayant nomme les inconnues &: variables AE^ x 5 EF, j j Ton aura EB = -^(parceque^ croiffant./diminue), = y l fi ~*~ t7 Or parlaproprietedela courbe, AE fi -)- EB ou AB x -^ . BF (^1\) ::m . . Done - = W.VT & fa difference fllppofant ^ con ft anre negative 5 d ou 1 on tire ddy = . ^^^-"j^^WxT myydy nxy Vdx- + df- Maintenant fi Ton fait cette fradion egale a zero, on trouvera ydx xdy = o; ce qui ne fait rien connoi- tre. C eft pourquoi il faut fuppofer cette fraction ega le a 1 infini , c eft a dire fon denbminatetir e gal a zero 5 ce qui donne Vd^T^ = ^=^l=Jil^ d C aufe de J KX my 1 equation a la courbe,d ou Ton tireJx= ^^5>^/. Qr quarrantchaquemembrede 1 e quation mydy=nxVdx--*-dy 1 -., on trouve encore dx ^i^^^^^L nx nnxy d ou Ton tire enrmj/vW# nn nx; ce qui donne cette conftruction. Soit decritdudiarnetre/^Z) = w,undemi-cercIe^/Z)j & ayantpris la cordeZ)/=, foit tireel indefinie^/. Je dis qu elle rencontrera la courbe AFK au point de re- brouflement F. liij jo ANALYSE Car ayant mene /f/perpendiculaire a AB, les triangles rectangles femblablesi)/^, 1HA, FEA donnerontD/ (n). lA(Jmm^7n) : : 1H. HA :: FE (y ) . EA (x) . c parcant y^Tum nn = nx qui etoit le lieu a con- ftruire. II eft clair qne BF eft parallele a DJ, puifque AB . BF :: AD (m) . DI (n). d oii il fuit que Tangle AFB ed droit; 8c partancqueles hgnes AB,J3F^BE font en pro portion continue. On pent trouver cetfe me me propriete fans aueun ca!- An 67. cu l ^ (] i on imagine * au meme point de rebrouflement F deux tangentes.F./?, f b quifaflent encr ellesun angle JJf b infimment perit. Car deciivant du centre .Fie petit arc L, on aura m.n :: Ah. bp :: AB . BF :: A b AB ou lib . be JBF ou bL :: BF . BE . a cauie des triangles re ctangles femblables BbL, FBE. Done, &c. Si m = n , il eft evident que la droite AF deviendra perpendiculaire fur 1 axe AB -> & qu ainfi la tan genre f 2? fera parallele a cet axe ; ce que Ton f^ait d ailleurs devoir arriver , puifqu en ce cas la courbe AB doit etre un demi- cercle qui ait fon diametre perpendiculaire fur Taxe AB. Mais (i m etoit moindre que n , il eft evident qu il n y au- roit aucun point de rebrouflement, parcequ alors Te qua- = nx renfermeroit une contradidion. DES INTINIMENT PETIT s. 7. Part. 71 SECTION V. Vfage dti calcul des differences four trouver Ics Dcvelopcef. DE FINITION. SI Ton conc.oit qu une ligne courbe quelconquc BDF ? IC - concave vers le meme cote , foit envelopee ou en- toureed unfil ABDF, dontl une des extremites fuit fixe en F, & 1 autre foic tendue le long de la tangente BA , & que Pon faffe mouvoir Pextremite^ en la tenant toujours tendue & en de velopant continuellement la courbe BDF ; il eft clair que I extremite A de ce fil decrira dans ce mou- vement une ligne courbe AHK. Cela pofe , la courbe BDF fera nomme e la DeveUfee de la courbe AHK. Les parties droites AB , HD , KF du fil ABDF feronc nominees les rayons de la develofee, COR.OLLAIRE I. 75 E ceque la longueur dufil^j?D.Fdemeure tou. jours la meme, il fuit que la portion de courbe BD eft egale a la difference des rayons DH^JSA^ui partentde fes extremites ;de meme la portion DF fera egale a la dif ference des rayons FK,DH ; & la courbe entiere BDF a la difference des rayons FK, BA. D ou Pon voit que fi le rayon BAAe la courbe etoit nul, c eft a dire que fi I ex tremite A du fil tomboit fur Porigine B de la courbe^Z)/ 1 , alorsles rayons de la developee 7>F^. FK feroient egaux aux portions BD, SDF de la courbe BDF. CoROtLAIRE II. 76- S i Pon confiderela courbe .ffDFcommeunpoligo- FIG. 66. neBCDEFd une infinite de cotes 5 il eft clair que Pextrc- mite A du fil ABCDEF decrit le petit arc AG qui a pour 7* ANALYSE centre le point C, jufqti a ceque ie rayon CG ne fafTepIus qu une ligne droice avec le petit cote CD voifin de CB t &de memequ elle de crit le petit arc GW qui a pour cen tre le p line Z>, jufqu a ce que le rayon DH ne fafle plus qu une droite avec le petit cote D; & ainfi de fuite j" qu a ce que la courbe BCDEF foit entie rement develo- pe e. La courbe AHK. peut etre done confidere e com- me 1 adembiage d une infinite de petits arcs de cercle AG, GH, HI., IK, &c. qui ont pour centre les points C, D, , F,&.c. D ouil fait, i. Que les rayons de la. de velopee la touchent con- tinuellement commcDH en D , KF en F, 8cc. EC qu ils font tons pcrpendiculaires a la courbe AHK qu ils decri- ventjCommeDH en H,FKenK,&c. CarZ)/f,pare xem- ple, eft perpendiculaire fur le petit arc GH & fur le pe tit arc H/, puifqu elle pafle par leurs centres 7), . D ofi FIG. 6$. 1 on voit, 1. que la developee ^Df termine 1 efpace ou tombent routes les perpendiculaires a la courbe AHK. 2. Que fi 1 on prolonge un rayon quelconqiie HD qui coupe le rayon *4B en R, jufqu a ce qu il rencontre un autre rayon quclconque KF en 5, Ton pourra toujours mcner de tous les points de la parcie RS deux perpendi culaires fur la courbe AHK, excepre d point touchanc JJduquel on n en peut mener qu une feule, fcavoir D/f. Car il eft clair que I interfeftion R des rayons A B,DH par- court tons les points de la partie RS, pendant que le rayon ./^/j decrit par Ton extre mite^laligne^ffA furlaquelle il eft concinuellement perpena iculaire: c que les rayons ^./?, HD ne fe confondent que lorfque rinterfedion Jt. tombe fur le point touchant I). Fro. 66. i. Qiie fi 1 on prolonge les petits arcs HG en /, 1H. en w, KI en , 6ic. vers 1 origine A du de velopement, chaque petit arc comme JH t-.-uchera en dehorsfon voi fin HG, parceque les rayons C^, DG,EH, FI vont tou- jours ea augmentant, amefure que les petits arcs qui com- pofent la courbe -. .WA.",s elo!e;nentdjj points. Par lamemc raifon fi Ton prolonge les petits arcs AG en o, GH en />, HI DES INFINIMENT PETITS. I. Part. 73 HI en^, vers le core oppofe au point A; chaque peric arc comme HI touchera en deflous fon voidn 7K. Orpuif- que les points H&I, D&peuvcncetrecot)fideres com me tombanc i un fur 1 autre a caufe de I infinie petitefle tant de 1 arc HI, que du cote DE ; il s enfuic que fi Ton de cric d un point quelconque moyen D de la developee SDf comme centre, &de (on rayon DHuncerdemHf, il touchera en dehors la partie HA qui tombera touts entiere an dedans de ce cercle, & en dedans de 1 autre parrie HK qui tombera touce entiere au dehors de ce meme cercle : c eft a dire qu il touchera &: coupcra la courbe AHK 3- meme point H,de meme que latangen- te au point d infle xion coupe la courbe dans ce point. 3. Le rayon HD du pecit arc HG , ne diffe ranc des rayons CG, Hdesarcs voiCmsGA, HI, qued unequan- tite infinimenc petite CD ouZ); il s enllut que pour peu qu on diminue le rayon DH, il /era moindre que CG, & qu ainfi fon cercle touchera en deflbus la partie HA 5 & qu au contraire pour peu qu on 1 augmente , il furpafTera HE , & qu ainfi fon cercle touchera en dehors la partie HK : de forte que le cercle mHf eft le plus petit de tous ceux qui touchent en dehors la partie HA, & au contrai re le plus grand de tous ceux qui touchent en dedans la partie HK : c eft a dire qu entre ce cercle &i la courbe on n en pent faire pafler aucun autre. 4. Comme la courbure des cercles augmenre a pro portion que leurs rayons diminuent , il s enfuit que la courbure du petit arc W/fera a la courbure du petit arc AG reciproquement comme le rayon BA ou CA de ce dernier eft a fon rayon DHouE H: c eft a dire que la cour- bure en Hde la courbe AHK fera a fa courbure en^ com me le rayon BA au rayon DH; & de meme que la cour bure en K eft a la courbure en H comme le rayon DH eft an rayon FK. D ou Ton voit que la courbure de la ligne AHK diminue continuellement a medire que la ligne UDFfe develops ; de forte qu au poinc^, ou commence ledevelopement, elle eft la plas grandequ il eftpoffible5 K 74 ANALYSE & au point K , cm je fuppofe qu il cefTe, la plus petite. 5. Que les points de la developee ne font autre chofe que le concours des perpendiculaires menees par les ex- eremites des penes arcs qui compofent la courbe AHK.. Par exemple,le point Dou .Eeftle concours des perpen diculaires HD, 7du petit arc HI; de forte que fi la cour be A HK eftdonneeaveclapofitiond une defes perpendi culaires PfD, pour trouver le point D ou E , ou elle tou. che la developee, il ne faut que chercher le point de concours des perpendiculaires infiniment proches HD , 7.-c eft cequ on vaenfeigner dans leProbleme qui fuit. PROPOSITION I. Probleme general. FIG. (,-]. 77- LA. nature de la lignc cour&e AMD etant donnee avec line dejcs perpcndiculaires qttclconque MC j determiner la lon- Qucnr du rayon MC dc (a developee : c eft a dire le concours dei perpendicitlaircs infiniment procbcs M C, m C. Suppofons en premier lieu que laligne courbe AMT> aic pour axe la ligne droite AD fur laquelle les appliquees /"A/ioient perpendiculaires. On imaginera une autre ap- pliquee mf, qui fera infiniment proche de MP > puifque le point m eft fuppole infiniment pres de M. On mene- ra par le point de concours C une parallele CE a 1 axe AB, laquelle rencontre les appliquees MP, mp aux points JE, e. Enfin menant MR parallele a AJ3, on formera les trian gles rectangles femblables MRm, MEC > car les angles EMR, CMm erant droits, & Tangle CMR leur e ranc commun, Tangle EMC fera egal a Tangle RMm. Si done Ton nomme les donnees AP, xi PM,y -> Tin- connue ME, s; ; Ton aura Eeou Pp ou MR. = dx, Rm dy = dz, , Mm = vW^ -t- dy -i & MR (dx) . Mm (\/ dx*- -<- dy) : : ME (xj . MC i^^rti . Or le point C etant le cen tre du petit arc Mm , Ton rayon CM qui devient Cm lorf- DES INFINIMENT PETIT $. 7. Part, ^ 7$ que .Af augmente de fa difFe rence Rm, demeure le meme. Sa difference fera done nulle : ce qui donne ( en fuppo- = oi d ou Ion tire mwcant pour^fa valeur . Suppofons en fecond lieu que les appliquees 2? M,.Z??w FIG. <5S. parcent toutes d un meme point/?. Ayant menedu point clierche C fur les appliquees , que je fuppofe infinimene proches , les perpendiculaires CE, Ce, & decrit du centre B le petit arc MR) on formera les triangles reel-angles {embhblesRMm&CEMC,BMR,BEG8<.CeG. C eftpour- quoi nommant^Af,/; ME, xj MR,dxi on aura Rm = dy , Mm = Vetx 1 -*- df, CE ou C^ = ~~ , trouvera en f u i re) com me dans le pre- mier cas,<== .OrBM(y). Ce (d x }.Qe=~&mtMEouRm Ge = ^ = >^=5* 4 Done en mettant cette valeur a la place de^, Ton aura ME fa)= 1 1 xy Si 1 on fuppofe quej loit infinie, les rermes dx* & dy* feront nuls par rapport a.yddy\ &i par confcquent cette derniere formule fe changera en celle du cas precedent. Ce qui doit auffi arriver ; puifque les appliquees devien- nent alors paralleies entr elles, & que Tare MR devienr. une droite perpendiculaire fur les appliquees. Maintenant la nature dela courbe^Af D etant donnee, on trouvera des valeurs de dy- & ddy en dx\au de dx 1 - &c ddysndy-, lefquelles etant iubftituees dans les formules precedences, donnerpncpour M u ne valeur deli vree des difFe rences., &; encierement connue. Et menant i Cperpen- diculairefur ME , elle ira couper MC perpendiculaire a la courbe, au point cherche C, Ce qui etoit propofe. Kij -j6 ANALYSE COR.OLLAIRE I. FIG. 67.68. 7"* A caufedes triangles re MEC y l on aura dans le premier cas MC= *~ Sc dans le fecond cas MC . -f dxflji yitxiliiy R E M A R QJ7 E. 79 I Ly a encore plufieurs autres manieres de trouver les rayons de la developee. J en mettrai ici une partie, afin de donner differences ouvercures a ceux qui ne pofle- dent pas encore ce calcul. Premier cas font les courbes dont les appliquees font ferpendiculaires a, I axe. FIG. 67. Premiere maniere. Soit prolongee MR en G on e!le rencontre la perpendicnlaire mC. Les angles droits , MmGdonneront RG = d ~- ; &par confequentAfG ~* "dx ^ ^ r * cau ^" e ^ es triangles femblables MRm, ^ les points ^, q marquent les interfeclions des perpendiculaires infimrnenc oroches AfC, wCavecl axe vent M^~ -~ , ^<_= 5 & partanc x-t--j~ dont la difference donne ( en prenant dx pour conftante) Qg = dx*+- A f"^^} . &; a caufe des trian- gles femblables CMG.CQj, I on aura^WG Q.q(~ y r)- MG /dxT-^-dy 1 \ ,, / i Vd^+~?-\ -. _ g^+^ r ^^-4-^ I 5^ / -^^ ( " -- 7^ / ML - ~ ~-^d^dy Seconde maniere. Ayant deem du centre C le petit arc<2O, les petits triangles rcdangles^Of , MRm feronc femblables , puifque Mm , >O & MR , Q$ f>Jnc paralleles . & partant Mm (vV^Wy 1 ). MR (dx):: . Or les fcdeurs femblables CMm, DES INFINIMENT PETIT s. /. part. 77 C0 donnent Mm f Troifieme- maniere. Menant les taneentes infiniment <? proches MT, mt, on aura PT AP ou ^7* = ^ *> done la difference donne Tt= "" ^f 1 ; 8c decrivant du centre m le petit arc TH, on formera le triangle redan- gle //TVfemblablea^wA/, car les angles HtT, RMm ou PTM font egaux, ne differant entr eux que de Tangle Tmt qui eft infiniment petit 5 ce qui donne Mm ( Vdx" -4-dy 1 )- mR (dy) -. ; T t ( y ^ } . TH= - -JjfJJL. . Or les fe- ty J dVdx -^rdy - , yaut un droit , & Tangle MmC + MCrn vaut auffi un droic a caufe du triangle CMm confidere comme redangle en M. Done Quatrieme maniere. On marquera*les differences /e- *^. ^ condes en prenant dx pour conftante ; & les triangles re- FIG. 69. dangles femblables HmS , Hnk donneront Hm ou Mm *- (t/J . mS ou MR (dx) : : Hn ( ddy ) . nk. ^ r l an glc kmn eft egal a celui que font entr elles les tangentes aux points M^m, Scpartant com. me Ton vient de prouver, egal a Tangle MCm; d ouilfuic que les fecleurs nmk,MCm font femblables, 5c qu ainfi nk ft tidy \ _ ____ ,_ i_ - : Mm * Art. On prend mH ou Mm pourmk, parcequ elles nedifFerent entr elles qne de la petite droite Hk infiniment moindre qu elles; de meme que Hn eft infiniment moindre que Rm ou Sn. K iij yS ANALYSE Second cas four la courses dont tes appliquca fattent d un meme foint fixe. Fi. 6$. Premiere maniere. Ayant menedu point fixe B les per- pendiculaires/^,5/fur les rayons infiniment proches CM, Cm; les triangles rectangles mMR^BMF, qui font fernbla. bles (puifqu ajoutant aux angles mMR, B MF\Q meme an- gleFAf^,ils compofent chacun un angle droic), donneronc MF on MH= y -- , & SF= -=&=-. done la diffe- - 1 rencefenprenanca .v pour conftante) eft7?/ BF o r , f des ^ femblab l es CMm,CHf, on forme cecte proportion JWw .-.- A///. Ji/c, fcpartant MC^ * ^n. <4. Seconde maniere. On marquera * les differences fecon- FIG. 70. des en fuppofanc Ax conftante; & lesfecteurs femblables 21mS,mEkdonnerontm(yj. mS (dx) .-.- mE()/dx l ~*-df}. jEk=12Ql. Or a caufe des triangles redangles femblables HmS, Hnk, 1 on aura Hmoa MmfVdx l -t- d/J. mS ou MR ( dx) : :Hn( ddy ) . nk = -- ^^ Fc yT^-^r^i- tc <<* ^-rfj:<fy l ydxdiiy partanc En= ~yj^r^~~ ; & prenant une troi/Ie- me proportionnellea En, EmouMm, les fe deurs fem blables Emn, MCm donneronc pour M C la meme valeur qu auparavant. Si 1 on nomme Mm ( V dx 1 +- df-), du; & qu on pren- ne dy pour conftante au lieu de dx ^ on trouvera dans le premier cas MC = ~- x , & dans le fecond MC Et en ^ n fi ^ 01: prend du pour conftan te , il vienc dans le premier cas MC = -^r ou aaji uu ( parceque la difference de dx 1 H- df = </a l eft D E s INFINIMENT PETIT s. /. Part. 79 + dyddy = <?,&: qu ainfi ~^-= *-) $ & dans le fecond , ydydu Axdy -*-jMx COROLLAIR.E II. oo. (^ o M M E Ton ne rrouve pour ME ou IMC qu une FIG. 71. feule valeur, il s enfuit qu une ligne courbe AMD ne peut avoir qu une feule develope e BCG. COROLLAIRE III. Q. C , f dx l +- iy*- \ ( vAx^-l", ^ 1 s c ,-, ttl. >j i la valeur de ME (~-^j~J ou U^-t-- Fic g7 eft pofitive, il faudra prendre le point E du meme cote de 1 axe^^ou du point J5, commc 1 on a fuppofe en fai- fant le calcul -, d oul on voic que la courbe /era alors con cave vers cet axe ou ce point. Mais fi la valeur de ME eft negative , il faudra prendre le point E du cote oppo. fe j d ou Ton voit que la courbe fcra alors convexe. De forte qu au point d inflexion ou de rebrouflement qui fe- pare la partie concave de la convexe, la valeur de ME doit devenir de pofivive negative j & partant les perpen- diculaires infiniment proches ou contigues doivent deve. nir de convergentes divergentes. Or cela ne (e peut fai- re qu en deux manieres. Car ou elles vont en croillant a mefure qu elles approchent du point d inflexion ou de rebroufTement ; & il faudra pour lors qu ellesdeviennenc paralleles , c eft a dire que le rayon de la develope e foit in- fini : ou elles vont en diminuant; Sc il faudra ne celTaire- ment alors qu elles tombent 1 une fur 1 aurre, c eft a dire que le rayon de la develope e foit zero. Tout ceci s ac- corde parfaitement avec ce que 1 on a de montre dans la. fedion precedeiue. R. E M A R QJJ E. 02.- COM ME 1 on a cru jufqu ici que le rayon de la develope e etoic toujours infiniment grand au point d in- So ANALYSE flexion , il eft a propos de faire voir qu il y a , pour ainfi dire, une infinite de genres de courbes qui one routes dans leur point d inflexion le rayon de la develope ee gal a zero s au lieu qu il n y en a qu un feul genre danslequel ce rayon foit infini. FIG. 71. Soit BAC une des courbes qui ont dans leur point d in flexion A le rayon de la devclopee infini. Si 1 on dcvelope les parties 5^,^/Cjencommencantau point ,4nl eft clair qu on formera une ligne courbe ~DAE qvii aura aufli un point d inflexion dans le me me points, mais dont le rayon de la devclopee en ce point, fera es;a! a zero. Et (1 Ton formoic de la meme force une troilieme courbe par le developement de la fecoride T)AE, &i une quatrieme par le developement de la troifieme, & ainfi dc fuite a 1 in- fini ; il eft clair que le rayon de la develope e dans le point d inflexion A de toutes ces courbes, feroit toujours egal a zero. Done, &c. PROPOSITION IL Probleme. Frc. 71. 3. \T R o u v E R dans les courbes AMD, ou faxe hRfait avcc la twtente en A un an^lc droit , le foint B ou. cet axe toitche la develofee BCG. Si I on fuppofe que le point vWdevienne infiniment pres du fommet A,\\ eft clair que la perpendiculaire^f^ren- eontreral axeau point cherche B 5d ou il fuit que fi ! on clierche en general la valeur de PQj^^ } en x ou enj, c qu on falle enfuite x ou_y = o , on de terminera le point P a tomber fur le point A , &i !e point Q^ fur le point cherche B j c eft a dire que PQ^ deviendra alors egal; a la cherchee A.B. Ceci s eiciaircira par les exem- ples qui fuivent. E X E M P L E I. FIG. -i. 84. 5 o i T la courbe AMD une Parabole qui ait pour para- Pa a- f A HE D B h DES INFINIMENT PETIT s. 1. Part. St parametre la droite donnee a. L e quation a la parabolc eft ax = yv, done la difference donnedy^- =-^^j &i J *? lYax prenant la difference de cecte derniere equation , en fup- pofanc dx conftante.on crouve ddy = ~~* dl ^, Subftituant . 4 *y* enfin ces valeurs a la place de dy & de ddy dans la formu- Je ^*!, on aura * ME = ^^F= Vox -*- ^. * ^ 77; Ce qui donne cette conftrucTHon. Soit mene e par le point 7"ou la tangente MT rencon tre 1 axe , la ligne TE parallele a MC > je dis qu elle ren contre MP prolongee au point cherche E. Car les angles droits MPT, MTE donnent MP fV^J . PT(sx) :.- PT (2x) . PE = *!*- = ~ ; & par confequenc M P -+- PE A De plus a caufe des triangles re flangles MP_Q,MEC, Ton aura PM(JT X ) . PQ^a) .: ME(V -+ ~~) EC ou />^C = 7<z H-^AT. c partant < ^_K ^=2,v. Ce qui donne cettc nouvelle conftruclion. Soit prife jjjjr double de AP , ou ( ce qui revient au meme; foit pnle PK egale a r^_, & foit mene e /CC pa ralleled PM. Elle rencontrera la perpendiculaireyV/Cen un point C qui fera a la developee SCO. Aiitre manie re.jy -= ax, &: 2ydy=adx dont la difFcfrence (en fuppofant^ conftante) donne 2dy l -*-2yddy=^o ; d ou 1 on tire ddy=*3-. Et mettant cette valeur dans la , on J^ Ce qui donne les memes conftrudions qu aupara- van t. Car MP. PT:: dy . dx :: PT(^j . PE *j =-^1 L Si ANAtYS-E Pour trouver a prefent le point B ou 1 axe AB touche la developee BCG. On .a fQ.(^) = I a. Or comme cette quantite eft conftante , ellc dcmeurera toiijours la nieme en quelque endroit que fe trouve le point M. Et ainfi, lorfqu il combe fur le fommet^, 1 on aura encore P^qui devient en ce cas AB {a. Pour trouver la nature de la developee BCG a la ma- niere de Def cartes. On nommera la coupee J5"A:,K5 1 ap- pliquee KC ou PE, t; d ou 1 on aura CK(t) = ~~ &j4P-*- PK sffifaj jxi mettantdonc pour x fava- leur j dans Ijequatipn.f =^tf?5f , Ton en form.era une nouvelle 27^ = /<fa quiexprimerala relation de2?./Ca KC. D ou 1 on voit que la developee CG de la parabole ordinaire eft une feconde parabole cubique doncle para- metre eft egal a - du parametre de la parabole donnee. FIG. 75. II eft vifible quc la developee CBC de !a parabole com mune entiere MdM a deux parties C/i, 2?Cqui ontlcurs convexites oppofees 1 une a 1 autrCj de iorte qu elles for- ment en B un point de rebrouflement. AvERTISSEMENT. Fi. 71. On entendpar courbes geometriques AMD, BCG celles dont la relation dcs toupees A P , B K. aux appliqnees P M , K C, Je feut cxprimer par une equation ou il ne fe rencontre point de differences } & on prend pour geometrique tout ce quon f tut fairs par le moyen de ces lignes. L on fuppofe id que les coupees & les affliquees foient des lignes droites. COROLLAIRE. By- LORSQ.UE a courbe donnee AMI) eft geometri que , il eft clair que I on pourra toujours trouver ( comme dans cet exemple ) une equation qui exprime la nature de CES INFINIMENT PETITS. 1. Part. 83 fa developee .SCG; & qu ainfi cecte developee fera auffi geometrique. Mais je dis de plus qu elle fera rcftifiable, c eft-a-dire qu on pourra trouver geome triquement des li<*nes droites e gales a une de fes portions quelconque BC -> car il eft evident *quel ondetermineraaveclefecours * An. 7;. dc la ligne A MD, qui eft geome trique,fur la tangente CM de la portion C,un point JWtel que la droite CjWnedif- ferera de la portion .#Cque d une droite EXEMPLE II. 06. SOIT la courbe donnee MD-M une hyperbole en- FIG. 74. tre fes afymptotes , qui ait pour equation aa =.xy. On aura = x ,~ ** dv = dx. & fuppofant dx con- y > yy rr l^^- = o;d oul on tire ddy=?-2-i&. *An.i. mcctantcette valeur dan de forte que C ouPJC = f^ ^-. Ce qui donne ces conftruciions. Soit mence par !e point T ou la tangente AJTrencon- trel afymptotey^^, la ligne 7*5 paralleled Jl/C&qui ren contre MP prolongee en S > foit prife ME c gale a la moitiede MS de 1 autre cote de l afymptote(que Ton re- garde ici comme 1 axe) parceque fa valeur eft negative ; ou bien foit prife PK egale a la moitie de2"^ du meme c-6te du point T : je dis que fi Ton mene EC parallele on KC perpcndiculaire a 1 axe , elles couperont la droite M C au point cherche C. Car il eft clair que MS = y dx i ^ ^? i s Si Ton fait quclque attention fur la figure de 1 hyper- \io\e AiDAf : , on verraquefa developee CZCdoit avoir un point de rebrou/Tement Z 5 de meme que la developee de la parabole. Pour le determiner je remarque que le rayon DL de la developee eft plus petit que tout autre rayon Lij 84 ANALYSE . 78. M C -, d ou il fuit que la difference de fon expreffion* __^ ; Sett. 3. AxT--*-dyi-Vdxi-+-jif-_ dxi^-w i iera*nulle ou infinie. Cc dxddy Axady qui donne , en prenant toiijours dx pour conftante , ^ , divifant par dx- -r ty * , & multiplianc enfuire par dxddy\ on tire cette equation dx dddy + dy^dddy fdyddy* = o on co , qui /ervira .i trouver pour x une valeur ^/ telle que meoant 1 appliquee HD 6c le rayon DL de }a de velo- pee, le point L lera le point de rebrouffement cherch^. On a dans cet e xemplej ^ , dy == , ddy 6a*dx* ^> n . -- Ceitpourquoi mettant ces va, leurs dans 1 eqnation pre cedente, on trouve dH(x) = a. D ou il fuit qoe le point D eft le fommet de 1 hyperbole, & que les lignes AD, DL ne font qu une meme droue^Z qui en eft 1 axe, EXEMPLE III. Fis, 71. 74. 87. So IT Pequation generate y m x qui exprime la nature de touces les parabolesa I infini lorlquerexpofanc m marque un nombre pofirif entier ou rompu, 6: de routes les hyperboles lorfqu il marque un nombre ne gatif. On aura my m ~ > dy~dx dont la difFerence donne, en prenant dx pour conftante, mm my ~ ^dy 1 - +. my m ~* ddy= a, c en divifant par my m ~ , il vient ddy = % 1 -^> *Art. 77. d ou mettant cette valeur dans *_"^., yt n tirera* ME partant EC ou PR = ==- . m iiiy 1 " m \dx to idy Ce qui donne ces conftru&ions generales. Soit menee par le point 7~ou la tangente MT rencon tre 1 axe AP, la ligne TS parallele a MC C qui rencontre DES INFINIMENT PETITS. 2. Part. 8? JAP prolonged au point 5 J foit prife ME - ou bien foic prife PK =~- t TQj ^ e & clair <l ue mene par le point E une parallele , ou par le point K perpendiculaire a 1 axe, elles rencontrerontMCau point cherche C. Si weft ne gatif, comme il arrive dansles hyperboles, Fis.y^. la valeur de Af fera negative; & par confequent elles feront convexes vers leur axe qui fera alors une aly mpto- te. Mais dans les paraboles oil m eft poficif , il peut arri- ver deux cas. Car ou m fera moindre que /, 8c alors elles FIG. 7J- feront convexes du cote de leur axe , qui fera une tan. gente au fommet : ou m furpafle y, & alors elles feront FIG. 71. concaves vers leur axe qui iera perpendiculaire au fom- rnet. Pour trouver dans ce dernier cas le point B oil 1 axe AB touche la de velope e. On a FQ (^) = ^~- > cc qui donne trois diffcrens cas. Car ou m = 2, ce qui n arri, ve que dans la parabole ordinaire 3 6c alors 1 expofant de^ etant mil, cette inconnue s evanouit ; 6c par confequent j4B = ~ , c eft-a-dire a la moitie du parametre. Ou m eft moindre que z 3 &t alors 1 expofant de y etant pofitif, elle fe trouvera dans le numerateur , ce qui rend ( en 1 e- galant * a z.ero ) la fraction nulle : c eft-a-dire que le point *Art. 83. B tombe en ce cas fur le point A comme dans la feconcle parabole cubique axx /. Ou enfin m furpafle 2 , & alors FIG. 1<S. 1 expofant de y etant negatif, elle iera dans le de norni- nateur, ce qui rend ( loriqu elle devient zero ) la fraction infinie : c eft-a-dire que le point B eft infiniment e loigne du points, ou (cequi eft la meme cho(e)que I axe ^B eft afymptote de la developed comme dans la premiere parabole cubique aax =^v\ On peut remarquer dans ce FIG. 77. dernier cas que la de velope e C0 de la demi- para bole si DM a un point de rebrouffement L ; de lone que par le developemenc de la partie ZO continuee a 1 in- fini, le point D ne decrit que la portion decerrninee DA , L iij 86 ANALYSE au lieu que par le developementde 1 autre partieZC con- . tinue e autli a 1 mfini , il de crit la portion infinie DM. On dccerminera le point Z de meme que dans 1 hy- perbole. Soic par exemple aax =f ouy = x~, on aura dy= x~~ ^dx,ddy =^x~ *dx\ dddy = jf v~ T ^ j & ces valeurs etant fubftitue es dans liquation dx^dddy 6. + dy^dddy jdyddy 1 = o , on trouvcra*^ff ^ = ^JTTiy II en eft ainfi des autres. R E M A R QJJ E. oo. ]-^ N fuppofanc que m furpaiTev, afin que les para- boles foicnc toujours concaves du cote de Jeur axe , il pent arriver dirFe rens cas. Car fi le numerateur de la fra ction marquee par weft pair, &ledenominateur impair; FIG. 73. toutes les paraboles tombent de part & d autre de leur axe dans une pofition femblable a celle de la parabole ordinai re. Mais fi le numerateur &.de nominatenr font chacun im pair; ellesontune pofition renverfeede part & d autre de leur axe, en force que leur fommecX eft un point d inflc- Fic. 77. xion , comme la premiere parabole cubique x=^y l ou : aax =y ] . Enfin fi le numerateur erant impair, le deno- minateur eft pair; elles ont une pofition renverfee du meme cote de leur axe, en forte que leur fommet^eft FJG. 76. un point de rebrouflement , comme la feconde parabole cubique x = / 1 ouaxx=^. Tout celafuitde ce qu unc puiflance paire ne peut pas avoir une valeur negative. Cela pofe, il eft evident, FIG. 77. i. Que dans le point d inflexion>^,le rayon de la de- velopee peutetreinfiniment ^rand comme dans ttax=y\ on infiniment petit comme dans aax ^y . FIG. 76, 1. Que dans le point de rebrouflement A , le rayon de la de velopee peut etre ou infini comme dans ou zero comme DES INFINIMENT PETIT s. l.Part. 87 3. Qu il ne s enfuit pas de ce que le rayon de la deve- FIG. lopee eft infini ou zero, que les conrbes ayent alors un pome d inflexion on de rebrouflement. Car dans A X ~ y* \\ eft infini , dans ax* =y^ il eft nul 5 &t cependant ces pa- raboles tombent de pare & d autre de leur axe dans une poficion femblable a celle de laparabole ordinaire. EXEMPLE IV. % So IT la courbe^AfD une hyperbole ou une ellipfe FIG. qui ait pour axe^//^, & pour parametre On aura parlapropriete de ces li done Ton met ces valeurs dans dxi "*" l ^ d ^ *~ Ayl expref- Axo-dy fion ge nerale de* MC, on trou vera dans ces deux courbes MC *A*t. 78. nbb ~ 4 ^f , puifque de part & d autre jbbxx f .,* xvl x ^ & cette conftrudion qui fert aufli pour la parabole. Soit prife MC quadruple de la quatrieme continuelle- i-nent proportionnelle au parametre AF & a la perpendi- culaireM^termine e parl axe } lepointCferaala deve- Jopee. Sil on faitjf=o ) onaura*^^ = i^. Et fi Ton fait dans *^.Sj. 1 ellipfe x = {a, on trouvera DG~~, c eft a-dire FIG. 79. e gal a la moitic du parametre du petit axe. D ou Ton voic qwe dansfellipre la developee .5CG fe termine en un point G du peck axe DO ou elle forme un point de re brouflement ; an lieu que dans la parabole & 1 hypcrbole elle s etend a 1 infini. 83 ANALYSE Si * ^dansl ellipfe, il vienc yWC -f^;d oui! fait que tons les rayons de la developee font egaux entr eux, &c qu elle ne (eraparconfequent qu un point :c e(r.-a-direque 1 elliple devienc en ce cas un cercle qui a pour developee ion centre. Ce que Ton fcair, d ailleurs etre veritable. EXEMPLE V. FIG. So. 90. So IT la courbe^AfDunelogarithmique ordinai- re,dont la nature eft tellequ ayantmened un deles points quekonqueA/laperpendiciilaireAf/ lurrafymptote/ C/ , & ia tangente MTj la foutangente / T foic toujours egale a la meme droice donnee a. On a done PT( y ~)=a, d oii Ton tire ^ = -^,dont la difference donne, en prenanta .v pour conftante.X^y=-^ *Art.-?j. ^=^_-L"; 5^ mettant ces valeurs dans-- 1 ^ , on trouve * ~^~^j c partanc EC ou PK = ~""~^ . Ce qui donne cette conftriiction. Soit prife PK egale a T iT.du meme cote de 7", parce- que fa valeur eft negative ; c foit mene e JvC parallele a PM : je dis qu elle rencontrera la perpendiculaire MC au point cherche C. Car TQ.= aa "^ iy Si Ton veut que le point M foit celui de la plus grande courbure , on fe fervira de la formule dx l dddy -t- dy dddy *Art.%6. jdyddy* = o, que Ton a trouve e *dans 1 exemple fe. cond ; 6c metrant pour/)/, ddy, dddy , leurs valeurs ~> y ~->^~ , on trouvera PM (y) = aV~ . 11 eft clair, en prenant dx pour conilante , que les ap- pliqueesj font entr elles comme leurs differences^)/ ou y i d ou il fuit qu elles font.auffi une progreffion geo- metrique. Carfi Ton concoirquel afymptoteou 1 axe/ 7 ^ foit divife en un nombre infini de petites parties e gales Pj> ou MR , / /ou mS , /g ou H", 6cc. comprifes entre les appli- DES INFINIMENT PETITS. 2. part. 89 appliqueesT .Af ,/>*,/, g^&c. Ton aura/ 7 A/ .pm-.:Rm.Sn :: PM-+-Rmou fm.pm-*-Sn oufn. Onprouvede meme que pm.fn ::fn.go, & ainfi de fuice. Les appliquees / A/, fm,ftt, go, &c. feronc done entr elles une progreffion geo- me trique. EXEMPLE VI. 9 l - o o i T la courbe AMD une logarithmique fpirale , FIG. Si, done la nature eft celle qu ayant mene d un de fes points quelconqne M au point fixe A , qui en eft le centre, la droice MA&. la tangente MT > Tangle^ MTfoit par tout le meme. L angle AMTou. sfmMetam conftant, la raifon de mR (dy) a. RM(dx) fera auffi conftante. II faut done que la difference de -- foit nulle ; cequi donne (en fuppofant^.v conftante) ddy = o. C eft pourquoi effacant le tertnej ^ dans dJ+=JJ$ expreffion * generale de ME lorfque * Art. 77- les appliqueespartent toutesd un meme point, on trouve ME-=y, c eft-a-dire ME = AM. Cequi donne cette conftrudion. Soit mence AC perpendiculaire fur AM, & qui ren contre en C la droiteATC perpendiculaire a la courbe - } le point C fera a la de velopee ACB. Les angles AMT,ACM font e gaux,puifqu e tant joints Tun & 1 autre au meme angle AMC ils font un angle droit. La developee ACG fera done la meme logarithmi- que fpirale que la donnee AMD, & elle n en differera que par fa pofition. Si Ton iuppofe que le point C de la de velopee ACG crane donne , il faille determiner la longueurCJW de fon rayon en ce point , qui * eft egal a la portion AC qui fait *Art. 7 $. une infinite de retours avant que de parvenir en A>\\ eft clair qu il n y a qu a mener AM perpendiculaire fur . De forte que fi Ton mene AT perpendiculaire fur M 90 ANALYSE AM , la tangente M T fera auffi egale a la portion AM de la loganthmique fpirale donnee AMD. Si Ton concjoir une infinite d appIiquees^.Mjy^w, .^#, Ao, &c. qui faflent entr elles des angles infiniment petits & e gaux -, il eft clair que les triangles MAm, mAn, nAo t &c. feronc femblables, puifque les angles en ./^ font e gaux, & que par la propnetc de la loganthmique , les angles en m, n, <?, &c. le (one auffi. Et partant AM . Am -.: Am. An. Et Am . An \: An . Aa. 6c ainfi de fuite. D ou 1 on voic que les appliquees AM, Am, An, Ao, &c. font une pro- greffion geometrique lorfqu elles font entr elles des an gles egaux. EXEMPLE VII. c.Sz. 9Z. 5 OIT la courbe AMD une des fpirales a 1 infini, formee dans le fedeur BAD avec une propriete telle qu ayant mene un rayon quelconque AMP , 8c ayant nomme 1 arc enticr BPD, I j fa partie BP, z > le rayon AB o\JiAP,a;&.{a. partie AM,y> on ait cette propor. L equation a la fpirale AMD eft/"=-^, dont la dif ference donne my m ~ l dy " * .. Or a caufe des fedeurs femblables AMR , APf, 1 on aura AM(y) . AP(aJ .: MR (dx) . Pp (dz.) = - . Mettant done cette valeur a la place de ^dans 1 equation que Ton vient de trouver , on aura * dont la difference ( en prenant dx pour conftante ) eft mmy" ~ l df -t- my m ddy = o ; d ou en divi- *An. 77. fant par my ~ \ Ton tire yddy = mdy 1 ; & partant ME * .- y^x 1 -If ydy 1 \ ydx i + y^y 1 - 2 -r r ) = - - .. > ce qui donne cette ( dx^-^-iiy yddy 1 dx 1 - -+- m -t- \dy*- conftrndlion. Soit mene e par le centre A la droite TAQ^ perpendi. culaire fur AM , & qui rencontre en 2"la rangente MT, 8c en ja perpendiculaire MQ ; foit fait TA -t- DBS INFINIMENT PETITS. /. Part. 91 ^:: MA . ME. Je dis que menant EC parallele d 7*^, elle ira rencontrer jVfJJjm un point C qui feraala deve- lopee. Car i caufe des parallelesjVf RG, TAQ^ VouanrtMR{dxJ dxi .+ m + Uf EXEMPLE VIII. 93- SoiT^A/D une demi roulette fimple, dont labafe Fie. 83. ED eft e gale a lademi-circonferenceZ?^ du cercle ge- nerateur. Ayanc nomme AP,x> PM, y ; Tare AE , a ; & le diametre W5, 2^ i Ton aura par la propriete du cercle PE = V~2ax xx 5 & par celle de la roulette y = u -*- Viax xx, dont la difference donne dy = ^-oudx V > en mettant pour du fa va- XX leur -r^==r > en fuppofant </x conftante,^ ~ VltX XX X/UtX-i & en metcant ces valeurs dans i^^ , il vienc * "Art. 78 ou Si Ton fait A; = o , 1 on aura ^ 2V= 4^ pour rayon de ladevelopee dans le fommet^. Mais fi 1 on fait x = 2a, on trouvera que le rayon de la develope e au point D de- vient nul ou zero ; d ou 1 on voit que la develope e a fon origine en D , & qu elle (e termine en N en forte que BN^-BA. Pour fcjavoir la nature de cette de velopee , il n y a qu a achever le rectangle Z?S, de crire ledemi cercle D2S qui a pour diametre >S, & mener Dl parallele a MC ou a BE. Cela fait, il eft clair que Tangle 01 eft cgal a Tangle EBD , 8cpar confequent que les arcs D/, BE fontcgaux entr euxj d ou il fuit que leurs coraes D/, BE ou GC font Mij 9 ANALYSE auffi e gales. Si done Ton fair 7C,elIefera egale & paral- lele a Z)G , qui par la generation de la roulette eft egale a 1 arc BE ou DI -, &i partant la de velope e DON eft une demi-roulerte qui a pour bafe la droite NS egale a la demi-circonrerence.D/.S 1 de fon cercle ge ne rateur:c eft- a-dire que c eft la demi- roulette meme AMDB pofee dans une fituation renverfee. COROLLAIRE. *An. 75. 94, IL eft clair*que la portion de roulette DC eft dou ble de fa tangente CG, ou de la corde correfpondante DI. Et la demi roulette DC/V double du diametre^A r ou DS de fon cercle gene rateur. AuTRE SOLUTION. 95* C_)N peut encore trouver la longueur du rayon MC fans aucun calcul,en cette forte. Ayant imagine une au- tre perpendiculaire mC infiniment proche de la premiere, une autre paralleled, une autre corde J3c, &de critdes centres C, B les petits arcsG//, EF, on formera les trian gles re danglesGffg, ^quiferont e gaux&.femblables 5 car Gg Ee , puifque BG ou ME eft e gal a l arc^, 6c de meme _Z?g ou me eft egal a 1 arc s!e ; de plus Hg on mg MG Feoulle BE; GH fera done e gal a EF. Or les perpendiculaires MC , mC , e tant paralleles aux cordes E, eB, 1 angle MCm (era e gal a Tangle EBe. Done puifque les arcs GH, EF , qui mefurent ces angles, font egaux, il s enfuic que leurs rayons CG, BE feront auffi egaux j 6c partant que MC doit etre prife double de MQ ou de BE. L E M M E. 96 S i L y a tin nombre quclconque de quantitcs a , b, c, d, e, &c.foit qiie cenombre foitfini ou infini ,foit que ces qttan- tites foient dcs lignes , ou des furfaces , ou des folides 5 la. fomme a b -+- b c -*- c d-t-d e, &c. dc toutcs leurs differences eft eale ^ la flus Brands a , mains la fins DES I N F r N I M E N T P E T I T S. /. Part. 9} petite e , ou {implement a la plus Brands; lorp^ue Li plus petite eft zero. Ce qui eft vilible. COROLLAIRE I. 97. LES fedeurs C M, CGH, etant femblables, il eft clair que Mm eft double de GH ou de fon egale EF > 8c comme cela arrive conjoins en quelque endroit que Ton fuppofe le point AT , il s enfuic que la fomme de tons les pecics arcs Mm, c eft-a-dire la portion Am de la demi- roulette AMD, eft double de la fomme de tons les petits arcs EF. Or le petit arc EF fait partie de la corde AE per- pendiculaire (urE, 6c eft la difference des cordes AE , Ae , parceque la petite droite eF perpendiculaire fur Ae pent etre confidere e comme un petit arc de crit du cen tre A> &partancla fomme de tons les petits arcs .Fdans 1 arc AZE fera la fomme des differences de toutcs les cor des AE,Ae,&.c. dans cct arc , c eft-a-dire par le Lemme qu elle fera egale a la eorde^. II eft done evident que la portion AM de la demi-roulette^vVfZ) eft double dc la corde correfpondante AE. COROLLAIRE II. 9o. L ESPACE MGgm * ou le trapeze MGHm *Art.i. Y Mm H-"[ GH x MG~\ EF x E, c eft a dire qu il eft triple du triangle EBP ou EBe; d ou il fuit que 1 efpace MGBA fomme de tons ces trapezes, eft triple de 1 efpace circulaire BEZA fomme de tons ccs triangles. O EXEMPLE III. 99 NOMMANTI?/ , ^; l arc^Z ou EM ou .Z?G, ; & le rayon KA, a\ 1 on aura le parallele logramme MGBE = ^. Or 1 efpace de la roulette MGBA = ]BEZA = 3EK.B -t- {an ; & partant 1 efpace AMEB renferme par la portion de roulette AM, la parallele ME, la corde BE & le diametre AB-, eft = 3 EKB -*-{au a^ D ou il M iij j4 ANALYSE fuic que fi Ton prend.tf/Yv 1 ^ 1 efpace AMES fera triple du triangle correfpondantA. .Z?; c aura par confe- quent fa quadrature independantede teile du cercle. Cc que M. Hugens a remarque le premier. Void encore une autre force d efpace qui a la meme propriete. Si Ton retranchedel efpace^M^i. le fegment .Z?Z^, il reftera 1 efpace ;4ZEM2EKB -<r-au a^; d ou Ton voit que fi le point P tombe au centre /C, Pefpace AZEM fera egal au quarre du rayon. Il eft evident qu entre tous les efpaces AMEB & AZk M , il n y a que les deux que Ton vient de determiner qui ayent leur quadrature abfo- luc indcpendante de celie du cercle. EXEMTLE IX. FIG. 84. 100. SOIT !a demi-roulette /4MD de crite par la re vo. lution du demi cercle^5 autour d un autre cercle im mobile BGD> Sc qu il faille determiner fur la perpendi- culaire MG donnee de pofition, le point ou elle touche la developee. Pour fe fervir des formules generales il faudroit pren- dre pour les appliquees dc la courbe^AfZ), des lignes droites perpendiculaires fur 1 axe Osf, & chercher enfuite une equation qui exprimat la relation des coupe es aux appliquees , ou de leurs differences. Mais comme le cal- cul en feroit fort penible , il vaut beaucoup mieux dans ces fortes de rencontres en tenter la lolutionenfefervanc de la generation meme. Lorfque le demi-cercle AEB eft parvenu dans la pofi tion MGB dans laquellei! touche en G la bafe^D;& que le point de crivant A tombe fur le point M de la demi- roulette AMD : il eft clair, 1. Que 1 arcGyW eft egal a 1 arc GD, comme auffil arc G13 du cercle mobile a Tare GB du cercle immobile. *Art. 43. 1. Que MG eft* perpendiculaire fur la courbe ; car conficie rant la demi circonfe rence MGB ou AEB ,& la bafe BG~D comme 1 aflemblage d une infinite de petites DES INF INI WENT PET ITS. /. Part. 95 droites egales chacune a fa correfpondante, il eft mani- fefte que la demi-roulette AMD fera Taifcmblage d unc infinite de pecks arcs qui auront pour centres luccelfive. ment tous les points touchansG, & qui feront decries chacun par le meme point M ou A. 3. Que (i Ton de crit du centre du cercle immubile 1 arc concentrique JWsles arcs MG,E B du cercle mobile feront egaux entr eux, aulfi- bien que leurs cordes MG, ES & les angles OGM, QBE. Car les droites OK, OK qui joi- gnenc les centresdes deux cercles font egales, puifqu elles paflent par les points touchans B, Gt c eft pourquoi me- nant les rayons OM, OE,&K.E, on formera les triangles OKM,OKE c gaux & femblables. L angle OKM e ranc done egal a Tangle ORE; les arcs MG,BE des demi- cer cles egaux MGB,BEA, qui mefurent ces angles, feronc egaux, comme aufli leurs cordes MG,EBi d ouilfuitque les angles OGM, OSE\Q feronc aufli. Cela pofe , foit entenduc une autre perpendiculaire mC FIG. infiniment proche de la premiere , un autre arc concentri que me, Scune autre corde Be; foient de crits des centres C,5, les petits arcs GH,EF. Les triangles rcdangles Gf/g, EFe feront egaux 6c femblables ; car Gg ou Z)g DG = Ee ou a 1 arc Be 1 arc BE, de plus Hg ou wg MG = Fe ou a Be BE. Le petit arc G H fera done egal au petit arc EF > A oil il fuit que I angle GCH eft a Tangle EBF, comme BE eftaCG. Ainfi toute la difficulte fe re- duit a trouver le rapport de ces angles. Ce qui fe faic en cette forte. Ayant mene les rayons OG, Og,KE,Ke, & nommeOG ou B, b ; KE ou KB ou KA, a ; il eft clair que Tangle EBe OBe OBEOgm OGM (en menantGZ, GK paralleles a Cm , Og) LGM OG y GCH GOg. On aura done Tangle GCH GOg -t- EBF. Or les arcs Gg, Ee etant egaux , Ton aura aufli GOg . EKe ou zEB,F .: K E(a) . OG(b); & parcanc Tangle GOg = ~EBF, & GCH Donc GCH 96 ANALYSE & pamnt 1 inconnue CG = -^+jEE ou MG. Ce qui donne cette conftrucHon. Ftc.S6. Soit fait OA(za^l>).OB(l>)::MG.GC; le point C fera a la developee. II eft clair t. Que cetce developee commence au poinc Z>, & qu elle y touche la bafe BCD ; pui/que 1 arc CM devientence point infiniment petit. z. Qu cllefe tcrmine au point AT, en forte que OA . OB .-.- ^^ . 2?-^.-.. OA AB ouO .OB BN<JU <9/Vj c eft- a- dire que OA, OB,ON font continuellemenc proporcionneiles. 3. Si Ton decric a prefent le ceicie NSJUjlu centre O, je dis que la deve lopee DCN eft formee par la revolution du cercle mobi le CCS, qui a pour diametreGj ou2?Jv r ,autourderimmo- bile NSQj c eft a dire qu elle eft une demi- roulette fem- blable a la propofee , on de meme efpece ( parceque les diametres AB^ N dcs cercles mobiles ont entr eux le meme rapport que les ray onsO^OyVdes cercles immo- biles ) , & pofee dans une fituation renverfe e en forte que fon fommet eft en D, Pour le prouver, fuppofons que les diametres des cercles mobiles fe trouvent fur la droite OT inenee a difcretion du centre O> ellepaflera par les points touchans 5, G ; 6i faifant AB ou TG . BN ou GS :: MG . GC, le point C fera a la developee , &: de plus a la circon- ference du cercle GCS ; car Tangle GA^T etant droit, I angle CCS le fera auffi. Or a caufe des angles egaux MGT, COS , Tare TM ou GB eft a 1 arc C5, comme le diametrecr au diametre GS:: OG . OS .-.- GB . NS ; c partant les arcs CS, S2S font e gaux. Done , &c. COROLLAIRE I. Art.7$. 101. J L eft clair *que la portion de roulette DC eft egale a la droite CM ; &: partant que DC eft a fa tangente CG .-: AB +- BN.BN :: OB + ON . ON; c eft a dire comme la fomme des diamecres des deux cercles ge nerateurs, on des cercles mobile & immobile, eft au rayon du cer cle immobile. Cetce verite fe de couvre encore de la ma- niere DES INFINIMENT PETIT s. /, Part. 9 7 nierequifuit. A caufedes triangles kmb\a.b\escMm,CGH, F IS. Sj. Ton aura Mm . GPfou EF : : MC . G ?: : OA+OB (za+zb). OB (b). D ouil fuit (commedansl art. 97.) que la portion de roulette A JV/eft a la corde correfpondante AE, comme la fomme des diametres du cercle ge nerateur 6c de la bafe, eft au rayon de la bafe. COROLLAIRE II. IOZ. L E trapeze MGHm= { GH+ 1 Mm x MG. Or FIG. 85. & MG] :: G/f. Mm= l - Done puifque GH=EF,& MG = EB, Ton aura MGHm = l "~^^ EF* jE^.-c eftadirequele trapeze MGHm fera toujours au triangle correfpondant EJ3F :: 2a + jb . b. D ou il fuit que 1 efpace MGBA renferme par MG, AB perpendiculaires a la roulette, par 1 arc ,Z?G c par la por tion de roulette MA, eft au fegment de cercle correfpon dant BEZA :: 20. + :>b .b. COB.OLLAIRE III. JOJ* IL eft viiible que la quadrature inde finie de la rou- FIG. 87. lette depend de la quadrature du cercle ; mais fi 1 on prend O^moyenne proponionnelle entre OK, OA, & qu on de crive de ce rayon I arc^fvW; je dis que 1 efpa- ce ABEM renferme par le diametre AB , la corde BE, 1 a.rcEM, & par la portion de roulette AM , eft au trian gle EKB :-.2a-t- jb.b. Car nommant 1 arc^^ou GB, ; le rayon OQ^ ^ I on aura B (b) . OQ^ ( 5 ) : : GB ( a ) _ RJ&\iME = "f. &partant 1 efpace JR.GJ3g^o\i MGBE, c efta dire { G+ i R^ B^~ =>^. Or*l efpacede * An , IC1 . if b b b KEZA (f 1 ). Si done 1 on retranche le precedent efpace de elui-ci.il K^^^ABEM^^^" *^" -^ h "~" l -^^~^^EKB celui-ci,il N 9 ANALYSE = ~* h ! EK J3> pnifque par la conftruftionX<.= 2aa + -*-bb. D ou Ton voit que cec efpace a fa quadrature in- de pendante de celle du cercle , 6c qu il eft Je feul parmi tons fes femblables. En voici encore un autre qui a la memc propriete. Si 1 on retranche de refpace^5Mle fement BEZA(au +EKB) , il reftera 1 e -t- bb : c eft a dire que (I Ton divife la demi-circonference en deux egalemenc au point , 1 efpace AZEM fera au double du triangle EKB, c eft a dire au quarre du rayon ::OK (a*-b).OB(b). COR.OLLAIRE IV. FIG. SS. 104, ^ i Ie cercle mobile AEB roule au dedans de 1 immobile^GD, fon diametre AB devient ne gatif de poficif qu il e toit auparavant; & partanc il faut changer de fignes les termes ou il fe rencontre avec une dimen- fion impaire. D ou. ilfuit, i. Que fi 1 on meneadifcre tion laperpendiculaire MG a la roulewe, &que 1 on faffc OA Art. too. (b 2a).OB(b] ::MG .GC. le point Cfera* a la deve- lope eZ)CyVde crite par la revolution du cercle qui a pour diametre _Z?JV,au dedans de lacirconfe rence JVS concen- trique a.BD. 1. Que fi 1 on decrit du centre O Tare ME^ * Art. 101. la portion de roulette^A/"fera*a lacorde^::2^ za.b. "Are. 101. 3 -Q Jg 1 efpace MGAeR. l aufegmentZlEzA :: jt> sa.b. 4. Que fi 1 on prend 0^~=^2aa jab +- bb , c eft a dire moyenne proportionnelle entre OK^OA) 1 efpace ABE At renfrme par la portion de roulette A M, 1 a.rcME, la cor- *An. io), de^.ffj&lediametre^^/era^au triangle EKB::jb sa.-b. Mais que fi 1 on fait O^ou OE = ^zaa 2ab -t- bb t c eft a dire que Tare AE foit le quart de la circonference j I efpaceAzE M renferme par la portion^Af de roulette & * Ibid, par les deux arcs ME , AE , fera*au triangle EKB qui eft en ce cas la moitie du quarre du rayon : : zb 2a. b. DES INF I NI MENT PET I TS. /. Part, 99 COROLLAI RE V. - S i I on conceit que lerayon OS du cercle immobi- FIG. 86. SS. le devienne infini, 1 arcZJG.D deviendra une ligne droitc,6c la courbesfMD deviendra la roulette ordinaire. Or com- me dans ce cas le diametre AB du cercle mobile eft nul par rapport a celui de 1 immobile ; il s enfuic, 1. Que MG.GC :-. 6 . t>. Puifque ^.^ = , c eft a dire que MG = GC; &partanc que fi 1 on prend gN=^B,tc[\.\ on menela droice NS parallele a BD, la d^velopee DCN fera for- mee par la revolution du carcle, qui a pour diametre BN, fur la bafe NS. i. Que la portion de roulette AM FIG. S;. S3. eft a la corde correfpondante^-.:2^. ^. 3". Qtie 1 efpace fegment BEZA:: jb.b. 4. Puifque 2?.^FiG. 87. SS. d oii 1 on tire ( en otant les incommenfurables) xx-_2/>x = 2aa-3al>i Ton aura x = ~a , en efFacanc les termes ou b ne fe rencontre point, parcequ ils font nuls par rap port aux autres. C eft a dire que fi Ton prcnd dans la rou lette ordinaire BP = \AB, ficqu on mene ladroite/ /\4 FIG. S\ parallele a la bale BD , 1 efpace ^jW5 fera triple du trian gle A^ On trouvera en opcrant de lamcme manicre, que fi le point P tombeau centred, 1 efpace sJZEMren- ferme par la portion de roulette^ A/, la droite A/, fc Tare AE, fera egal au qunrre du rayon. Cequel onade- ja demontre ci-devant arc, 99. R E M A R QJJ E. jo6. COMM E les arcs DG, GM font toujours e gatix FIG. 84. entr eux, il s enfuit que Tangle DOG eft aufli roujouri a 1 an. gleG7CA/::G/C-OG. C eft pourquoi 1 originel) de larou- letteDA/^,les rayons OG,G/Cdes cercles ge nerateurs,&: le point touchant Getant donne s,fi 1 on veut determiner dans cette oofition le point jlfquidccrit la roulecte,il ne faut que Nij ioo ANALYSE tirer le rayon KM en forte que Tangle GKM foit a Tan gle donne DOG ::OG. GK- Or je uis mainrenant que ceia le peut toujours faire geometnquement lorlque le rapport de ces rayons fe peut expnmer par nombres ; 8c partant que la roulette DMA eft alors geomerrique. Car fuppofanr, par e xemple, queOG.G/C :: // ./iileft clair que Tangle MKG doit contenir deux fois Tangle donne DOG & de plus { de cet angle. Toute Ja dirBctil- te fe re duit done a diviler Tangle DOG en cinq parties egales. Or c eft une chofe connue paries Geome tres, qu on peut toujours divifcr gcometriejiiement un angle ou un arc donne en tant de parties estales qu on voudra : T > II - puilqu on arrive toujours a quelque equation qui ne ren- ferme que des lignes droites. Done, &c. Jedisde plus que la roulette "DM /I eft mecanique, ouce qui eft la meme chofe, qu on ne peut decerminer geome- triquement fes points M lorfque la raifon de OG a KG ne fe peut exprimer par nombres, c eft a dire lorfqu elle eft fourde. Car toute ligne,foit mecanique foit geometrique, ou Fie. 8y. rentre en elle.meme on s ctend a Tinfini ; puifqu on peut toujours en continuer la generation. Si done leeercle mo bile ABC decrit par ion point A dans fa premiere revo lution la roulette ADE, cette roulette ne fera pas enco re finie, & continuant toujours de rouler ildecrira la fe- conde EFG, puis la troifieme G/f/, & ainfi de fuite juf- qu a ce que le point dccrivant 4 retombe aprcs plufieurs revolutions dans le meme point d ou il etoit parti. Er pour lors fi on recommence a rouler le cercle mobile ABC, il decrira derechefia memeligne courbe, de forte que tou- tes ces roulettes prifes enfemble ne compofent qu une leule courbe ADEFGHJ, &c. Or les rayons des cercles, ge nerateurs etant incommenfurables, leurs circonferen- ces le feront auffi; &par confequent le point decnvant ^4 du cercle mobile ABC ne pourra jamais retomber dans le point ^deTimmobile, d ouil etoit parti, fi grand que DES INFINIMENT PETIT s. I. Part. 101 puifle etre le nombre des revolutions. II y aura done une infinite de roulettes qui ne formeronc cependant qu une me me lignecourbe^Z)^G///, &c. Maintenant fi Ton mene au travers du cercle immobile une ligne droice in- definie, il eft clair qu elle coupera la courbe continuee a 1 infini en une infinite de points. Orcomme 1 e quation qui exprime la nature d une ligne geomerriquedoit avoir au nioins autant de dimensions que cetce ligne peut etre cou- pee en de differens points par une droite j il s enfuit que 1 e quation quiexprimeroit la nature de cette courbe auroit une infinite de dimenfions. Ce qui ne pouvant etre, on voit evidemment que la courbe doit etre me canique ou tranfcendente. PROPOSITION III. Probleme. 107. J_A ligne courbettC ctant donnee , trouver une infi- FIG. 90. nite delignes AM, BN,EFO,(tont ettefo/f la develofee com mune. Si Ton de velope la courbe BFC en commencant par le point 4, il eft clair que tous les points ^, g, F , du fil ABFC decriront dans ce mouvement des lignes courbes AM, BN, FO, qui auront toutes pour developed commu ne la courbe donnee BFC. Mais il faut obferver que la li gne FO n ayant pour de velopee que la partie^FC, fon origine n efl; pas en F 5 & que pour la trouver , il fauc developer la partie refhnte BF en commencant au point F pour decrire la portion .E/ de la courbe EFO done I o- rigine eft en E , 6c qui a pour de velopee la courbe entie re BFC. Si 1 onveut trouver les points M, N,O fans fe fervir du fil ABFC, il n y a qu a prendre fur une tangentequelcon- que CM autre que BA, les parties CM,CN, CO egales a ABFC, BFC , %C. N iij ioi ANALYSE COROLLAIR.E. 108. _[L eft evident, 1. Que lescourbes AM, BN, EFO font d une nature tres difference entr ellesjpuifque la cour- oe AM a. dans Ton fommet A le rayon de fa developee egal a AB, au lieu que celui de la courbe BN eft nul. II eft vifibleauifi par la figure memede la courbe EFO qu elle eft tres differente des courbes AM, BN. 1. Que les courbes AM, BN, EFO ne font geometri- ques que lorfque la donne e BFC eft geome trique 6c de plus redifiable. Car fi elle n eft pas geome trique , en prenanc BK pour la coupee, on ne trouvera point geome- triquement 1 appliquee KC: & fielle n eft pas redifiable, ayanc mene la tangente CM , on ne pourra determiner geomerriquement les points M, N, O des courbes AM, BN, EFO 5 puifqu on ne peut trouver geome triquemenc des lignes droitcs e gales a ia ligne courbe BFC , Sc a fes portions J5l<* , FC. R E M A R QJtJ E. FIG. 91. 109, ^, l on de velope une ligne courbe BACcp i ait un point d inflexion en^, en commen^ant par le point D au- tre que le point d inflexion ; on formera par le de velope- r.ient de lapartie^?^/Z)la partie DEF"> & par celui de la partie DC, la partie reftante Z)G : de forte que FEDG fera la courbe entiereformeeparledevelopementde^^C.Or il eft vifible que cette courbe rebroufle chemin aux points J)&, avec cette difference qu au point de rebrouffemenn D les parries DE, DG ont leur convexite oppofe e 1 une a i autre; an lieu qu au point les parties DE, EF font con- caves vers le meme cote. On a enfeigne dans la fe dion pre cedente a trouver les points de rebrouilementtels que D : il eft queftion maintenant de determiner les points , qu on peut appeller points de rebrouflement de la fecon- de forte, &queperfonne, que je f^ache, n a encore con- fidere. Pour en venir a bout, on menera a difcretion fur la ft E s INFINIMENT PETIT s. 1. Part. i : 3 partieD deux perpendiculaires M 2V,w,terminees par la developee aux points yVj w, par Icfquels on tirera deux au~ tres perpendiculairesJV//, #W furies premieres NM,nm> ce qui formera deux perits fe&eurs A/.2VJ , 7/ffw qui fe. rone femblables, puifque les angles MNm^ NHn font e gaux. On aura done Nn . Mm :: NH . NM. Or dans le point d mflexion^ le rayon 2V7i"devient *infiniouzero ; *Art.$i. &i le rayon MN, qui devient AE, demeure d une grandeur finie. II faut done qu au point de rebroufTement de la feconde forte, la raifon de la difference Ntidu rayon MN de la developee, a la difFerenceTl/w de la courbe, devienne ou infiniment grande ou infiniment petite. Et partanc puifque *Nn ^-WV* tg^J^ - , & Mm = ^V dy\ Ton aura * M*i+WW r rtW = ou oo 5 Sc multipliant yzrdxddy\ on trouvera la formii- le dx*dddy -t- dy-dddy jdyddy 1 = o ou oo , qui fervira a determiner les points de rebrouffement de la feconde forte. On peut encore concevoir qu uue rebrouflante DEF FIG. 91,95. ou HDEFG de la feconde forte, ait pour developee une autre rebrouflante^^Cde la feconde forte, telleque fon point.de rebrouffement^ reponde au point de rebrouf- fement E, c eft a dire qu il foit fitue fur le rayon de la developee qui part du point E. Or il eft clair dans cette fuppofition, que le rayon EA de la developee fera tou- jours un flus fetit ou un flus grand j 8c partant que la difference de x ^ x ^ d expreffion ge nerale * des rayons de la developee, doit etre nulle ou infinie au point cher- die ice qui donne la rneme formule qu auparavant:de forte qu elle eft ge nerale pour trouver les points de re- bfoufTement de la feconde forte. ANALYSE SECTION VI. du calcul des differences pour trouper Its Catiftiques par reflexion. D E F I N I T I O N. FIG. 94. 9 j. Q* 1 1 on cone, ok qu une infinite de ^j qui partent d un point lumineux B, fe re flechuTent a la rencontre d une Jigne courbe^AfD, en forte que Jes angles de reHexion foient egaux aux angles d incidence } la ligne HPN, quetouchent les rayons refle chis ouleur prolongernens^/^ MF, ZW, eft appellee Cauftique far reflexion. COK.OLLAIR.E I. FIG. 94. no. ^[ 1 on prolonge W^en/, de forte que ^7= & que 1 ondevelope la cauftique/f/ JVen commen^ant au point I; on decrira !a courbe ILK telle que la tangen- * Art. 75. te F L fera *contmuellement e gale a la portion FH de la cauftiqueplus a la droite HI. Et fi Ton con^oit deux rayons incident & reflechi^w, mF infiniment pres de/? JVf, IvlF, Si qu ayanc proionge Fm en /, on decrive des centres J", B les petits arcs MO, MR : on formera les petits trian gles re ctangles MOm, MRm, qui feront femblables & egaux ; car puifque Tangle OmMFmD=RmM, Si. que de plus 1 hypotenufe Mm eft commune, les petits cotes Om, Rm feront egaux entr eux. Or puifque Om eft la dif ference de LM , 6c Rm celle de BM, 5c que cela arrive toujours en quelque endroit qu on prenne le point Af ; il *Art.t>6. s enfuit quejWZ Isfou ;4H-*-HF MF fomme*dc toutes les differences Om dans la portion de courbe AM, * Art. 96. eft = BM BA fomme* de toutes les differences Rm dans la meme portion AM. Done la portion HF de la cauftique HFNfera. e gale a BM BA-*- MF AH. II peut arriver diffcrens cas, felon que le rayon inci dent BA eft plus grand ou moindre que BM, & que le re fle chi DES INFINIMENT PETIT s. /. Part. i o j reflechi^/f develope ou envelope la portion HF pour parvenir en MF : mais Ton prou vera toujours, comme 1 on vienc de faire, que la difference des rayons incidens eft egale a la difference des rayons rc flechis , en joignant a Tun d eux la portion de la cauftique qu il de velope avant quedetomberfurl autre. Pare xemple,Z^Af BAMF F c. 95- +FH AH > d oii Ton tire/ 1 HBMBA^-AHMF. Si 1 on decrit du centre .ffl arcde cercle^/ jil eftclair FIG. 94. 95. que PM /era la difference des rayons mcidensJ3M,BA, EC fi 1 on fuppofe que le point lumineux E devienne infini- ment eloigne de la courbe^ATDjles rayons incidens/?^, FIG. yts. BM deviendront paralleles, & 1 arc AP deviendra line ligne droite perpendiculaire fur ces rayons. COROLLAIR.E II. in. ^ i 1 on conceit que la figure BAMD /bit renver- FIG. y^.. fee fur le meme plan, en forte quele point B tombe fur lepoint /, &qu ainfi latangente en ^delacourbe^jV/D dans fa premiere fituation , la touche encore dans cette nouvelle ; 6c qu on falle rouler la courbe^yV/a? fur AMD, c eft a dire fur elle-meme, en forte que les portions aM, AM foient toujours egales : je dis que le point^decrira dans ce mouvementune efpece de roulette ILK quiaura pour developee la cauftique HFN. Car il fuitde la generation , 1. Que la ligne ZMtiree du point de crivantZau point touchantAf fera * perpen- * An. 45. diculaire a la courbe/Z/C. z. Que La ouIA=J3A, & LM=SM. 3.Qiie les angles faits par les droites.MZ,ZW fur la tangente commune en M font e gaux ; &partantque fil on proIongeZAf enf, le rayon MF fera lere fle chi de i incident BM, D ou 1 on voit que la perpendiculaire LF touche la cauftique HFN: & comme cela arrive rou- jours enquelque endroit qu on prenne le point Z, il s en. fuit que la courbe ILK eft forme e par le de velopement de la cauftique HFN, plus la droite///. II fuit de ceci que la portion F H ou jFZ HlBM io6 ANALYSE -*-MF BA AH. Ce que 1 on vient de demontrer d une autre maniere dans le Corollaire precedent. COROLLAIRE III. 111. Si la tangente D2Vdevient infiniment proche de la tangente FM 5 il eft clair que le point couchant TV, 5c celui d interfedion/^fe confondront avec 1 aurre point touchant F: de forte que pourtrouver le point F ou le rayon rerle chi MF touche la cauftique HFN, il ne fauc que chercher le point de concours des rayons reflechis infiniment proches MP\ mF. Eten effet., fi 1 on imagine une infinite de rayons d mcidence infiniment proches les uns des autres , on verra naicre par les mterfe&ions des reflechis un poligone d une infinite de cote s dond adem- blage compofera la caullique HFN. PROPOSITION I. Probleme general. FIG. 97. 115. \_,^ nature de la courbc AMD , le foint lumineux B, &le rayon HJWwBM etant donnesi trouver fur le reflechi MF donne de pofition , le foint F ou il touche la cauftique. Ayant trouve par la feclion precedente la longueur jVfCdu rayon de la de velope e au point M, & pris I arcMm infiniment petit, on tirera les d roues 5w, Cm, fm; on de- crira des centres 5, F les petits arcs MR, MO; on menera les perpendiculaires CE, Ce, CG, Cg fur les rayons inci- dcns & reflechis ; enfuite on nommera les donneesEM,y> ME ou MG ) a. Cela pofe, on prouvera, comme dans le Corollaire pre- *An. no. mier*, que les triangles MRm,MOm font femblables6ce- o-aux; & <yi A\n{\MR=MO. Or a caufe de 1 e galite des an- o-les d mcidence & de reflexion, Ton a auffiC = CG, Ce L^Cg > 6c partant CE Ce ou E^~CG Cg ou SG. Done a caufe des triangles femblables^M^&^.Ei^, FMO & FGS, Ton BES INFINIMENT PETITS. 1, Part. 107 ou MO + GS . MR. ou JUO :: MG (a) . M F = 7pr; Si le point lumineux B tomboit de 1 autre cote da point E par rapport au point M, ou ( ce qui eft la meme chofe)filacourbe^A/I) e toit convexe vers le point lu mineux B >y deviendroit negative de pofiti ve qu elle etoit, & Ton auroit par confequent MF ~ ~ ou l *^, a Si Ton fuppofe que^< devienne infinie, c eft a dire que FlG - le point B foit infiniment e loigne de la courbe^AfZ) j les rayons incidens feront paralleles entr eux, Scl onaura = ~a , parceque a eft nulle par rapport a zy. COR.OLLAIRE I. 114 CoMME Ton ne crouve pour MF qu une feule FIG. 94. 95. valeur dans laquelle entre le rayon de la develope e ; il s enfuit qu une ligne courbe^AfZ) ne peut avoir qu une feule cauftique H PJVpar reflexion, puifqu elle*n a qu une *An. So. feule develope e. COB.OLLAIRE II. , ileft clair * que *An. 85. fadevelopeel eftauffi, c eft a dire que 1 on trouvegeome- FIG. 97- triquement rous les points C. D ou il fuit que tons les points F de fa cauftique feront auffi determines geome- triquement, c eft a dire que la cauftique HF N fera ge o- FIG. 94. 95. metrique. Mais jedisde plus, que cette cauftique fera tou- jours redifiable ; puifqu il eft evident* que Ton peut trou- * Art. us. ver avecle fecours delacourbe^yVfZJjqu on fuppofe geo- metrique, des lignes droites egales a une de fes portions quelconque. COROLLAIRE III. 1T ^ Si la courbe AMD eft convexe vers le point lu- FIG. 97. mineux B > la valeur de MF (~^r a ) fera toujours po. fitive ; & il faudra prendre par confequenc le point F da Oij toS A N A L y s E cote du point C, par rapport au point M, comrae Ton a fuppofe en faifanc le calcul. D ou Ton voic que les rayons reflechis infiniment proches feront divergens. Mais Ci la courbe AMD eft concave vers le point lu- mineux B, la valeur de M F (~^ ) f era pofiti ve lorfque;/ furpalTel^, negative lorfqu il eft moindre, &infime lorf qu il eft e gal. D ou il fuit que fi Ton de crit un cercle qui aitpourdiametrela moitie du rayon AfCdelade velope e, les rayons reflechis infinimentproches feront convergens lorfque le point lumineux B combe au dehors de fa cir- conference, divergens lorfqu il tombe au dedans , & enfm paralleles lorfqu il tombe deflus. COROLLAIR.E IV. 1I 7* S i le rayon incident B M touche la courbe AMD au point Af, 1 on aura ME (a)=o;& partant Mf~ 6. Or comme le rayon reflechi eft alors dans la diredionde 1 in- cident, Scque la nature de la cauftique confifte a toucher tons les rayons reflechis ; ils enfuit qu elle touchera aufli le rayon incident M3M point M: c efta dire que la cau ftique & la donnee auront la meme tangence dans le point M qui leur fera commun. Si le rayon M C de la develope e eft nul, on aura encore ME faj o; 8c parcanc MF==o. D ou 1 on voit que la donnee & la cauftique font entr elles dans le point M qui leur eft commun, un angle egal a Tangle d incidence. Si le rayon CM de la develope e eft infini , le petit arc JW>deviendra uneligne droite, & 1 on aura MF+y> pnifque ME (a) erant infinie,^ fera nul par rapport a a. Or comme cette valeur eft negative lorfque le point JB tombe du cote du point C par rapport a la ligne AMD, & pofitive lorfqu il tombe du cote oppofe ; il s enfuit que les rayons reflechis infinimentproches feront toujours di vergens lorfque la ligne AMD eft droite. DES INPINIMENT PET ITS. 1. Part. 109 COROLLAIR.E V. IlS. JL eft evident que deux quelconques des trois poincs B,C, f, etant donnes, on crouvera facilemenc le troifieme. Soit, i } la courbe .^JWD une parabole qui ait pour foyer FIG. 98. le point lumineux B. 11 eft clair par les elemens des fe- ctions coniqueSj que tous les rayons reflechis feront pa- ralleles a 1 axe ; & partanc que M F fera toujours infinie en quelque endroic que Ton fuppofe le point M . On aura done a = 2y : d oii il fuicque fi 1 on prend ME double de MB , 2c qu on mene la perpendiculaire EC , elle ira cou- per AfCperpendiculairea lacourbe^AfZ), en un point C qui fera a la develope e de cette courbe. Soit 1. la courbe slMD une ellipfe qui ait pour un de FIG. 99. fes foyers le point lumineux^. II eft encore clair que tous les rayons reflechis MF fe rencontreront dans un meme point F qui fera 1 autre foyer. Et fi Ton nomme MF,^ 1 on jd oial on t Mais fi la courbe AMD eft une hyperbole, le foyer F torn- FIG. no. bera de 1 autre cote ; 8c partant MF (z.) deviendra neo-a- tive : d ou il fuic qu on aura alors ME (a) = ni!5 ou z ^ ^ e qui donne cette conftrucHon qui fert auffi pour 1 ellipfe. Soit prife ME quatrieme proportionnelle au demi-axe FIG. 99.100. traverfant , & aux rayons incident & rerlechi ; foit me- nee la perpendiculaire EC : elle ira couper la ligne MC perpendiculaire a la fedion, en un point C qui fera a lade. velopee. EXEMPLI I. IJ 9- Oo IT la courbe^ A/7) une parabole,dont les rayons FIG. 101. incidens PM foient perpendiculaires fur fon axe slP. II faut trouver fur les reflechis MF les points F ou ib tou. chent la cauftique AFK. Oiij no ANALYSE I! eft dair que fi Ton mene le rayon MC de la deve- lopee, &i qu on tire la perpendiculaire CG fur le rayon *Art. 113. rcflechiMF, ilfaudra^prendreyWT 7 egale i!a moitie de MG. Mais cecre conftruclion fe pent abreger, en confide- rant que fi Ton mene A/JV parallele a 1 axe AP, & la droite ML an foyer Z ; les angles LMP, FMN feront egaux > puifque par la propriece de la parabole LMQ==MN, & par la foppoGrion PM^== QMF. Si done Ton ajoute dc pare & d autre le meme angle PMF, 1 angle LMF fera egal a Tangle PMN, c eft a dire droit. Or Ton vient de * Art. nS. de montrer *que LH perpendiculaire fur ML rencontre ,-. i. j e ra y On yV/Cde la developceenfon milieu Pf. Sidoncl on mene 2viF paralleled egale a LH, elle fera un des rayons reflechis, 6c touchera en f la cauftiqne AF K. Ce qu il falloit trouver. Sil on fuppofe que le rayon re flechi MF foitparallele al axe AP, il eft evident que le point F de la cauftique fera le pins e loigne qu il eftpoffible de l a\Cj4P, puifque la tangente en ce point fera^parallele a 1 axe. Arm done de determiner ce point dans toutes les caufUques , telles que v4 .F.K, formees par des rayons incidens perpendiculai- res a 1 axe de la courbedonne e, il n y a qa a confidc rer que MPdoit ctrealors egale Soit ax = n, on aura dy = -^-f_ = dx , d oii Ton tire 2- r #Jf AP (x) = ~a : c eft a dire que fi le point P tombe au foyer L, le ray on re flechi MF fera parallele al axe. Cequi eft d ailleurs vifible -, puifque dans ce cas A//> fe confondant avecZM, il faut auffi que MF fe confonde avec AfA r ,&Z/f v avecZ<2; D oul onvoitque Af^eft alors egale a ML ; 5c partant que fi Ton mene FR perpendiculaire fur 1 axe, on tMra. Jl 4Rouj4L-*-MF=\a, On voit auffi que la portion AF de la cauftique eft egale en cc cas au parametre, puif. Art. no. qu elle eft toujours *egalea/ 7 /W-<- MF. Pour determiner le point K ou la cauftique AFK ren contre 1 axe AP, il faut chercher la valeur de MO , & 1 e- DES INFINIMENT PETITS. 1. Part. in galer a cells de Mr ; car il eft vifible que le point F tombanc en K. , les lignes MF, MO deviennenc e gales entr elles. Nommanc done 1 inconnue M0,t> Tangle PMO coupe en deux egalemenr par .M^perpendiculai- re a la courbe , donnera MP (y) . MO (t) : : PQ. ( y ^ ) OQ== f .& partant OP = "? ^ = Vtt yy , a cau- fe du triangle redangle MPOi&i divifant depart &d au- tre par t + y , on trouve -/ = j*-~ 3 - , d ou Ton tire t J <ix V t->ry MO (t) =-g^= MF(\a) =^- , puifque * *An. 77- ME (a) dj ^ d ~ y -. Ce qui donne dy~ 2 yddy= dx*-, qui fervira a trouver le point P tel que menant le rayon incident/* M & le refle chi J1/T.F, ce dernier touche la cau- ftique AFK au point K 06 elle rencontre 1 axe AP. i_ i_ On a dans la parabole y = x 1 -, dy {x l dx t Jdy __i = \x *-dx* } & mettant ces valeurs dans [ equation precedente , on trouve ~x l dx l -*-x r dx~ =. dx* ; d ou Ton tire AP (x) = i du parametre. Pour trouver la nature de la cauftique^F/C a la manie- rc de Defcartes , il faut chercher une equation qui expri- me la relation de la coupe e ^.R () , al appliquee RF(z.)^ ce qui fe fait en cette forte. Puifque MO (t) = &** f 1 on aura PO (^^) = ^ & a caufe des triangles femblables MPO, MSF, on formera ces proportions MO s^ + jyi . ( -.lUy) OU J^fc/rfy. rf^ 1 ^ (j/ z ) = ^=^ 1 : : PO f^$- ) v > lAity { tlx 1 - df-J SF. ou PR (a x } = -^j . On aura done ces deux in ANALYSE equations *< ==y + 4=^ ,& = * + -^ , qui fer- vironc avec celle de la courbe donne e a en former une nouvelle ou x & y ne fe trouveront plus, & qui expri- mera par consequent la relation de AR (u) a FR (\)- Lorfque la courbe AMD eft une parabole, comme J on a fuppofe dans cet exemple , on trouvera z^=\x * 2x T , ou (en quarrant chaque mcmbre) ^x 6xx -+-4. x* = 2^, &u = jx j d ou. Ton tire 1 equation cherchee ^^= --u> f^* -4- i^a qui exprinre la nature de la cauftique AFK. On peut remarquer que PR eft tou- jours double de AP, puifque AR (u)= $x 5 ce qui four- nit encore une nouvelle manie re de determiner fur le rayon rcflechi Mf le point cherche f. EXEMPLE II. Fie. 101. I1D SOIT la courbe AMD un demi-cercle qui ait pour diametre la ligne^D, 6c pour centre le point C> foient les rayons incidens PM perpendiculaires fur AD. Comme la develope e du cercle le re unit en un feul * Art. 113. point qui en eft le centre, il s enfuit^quefil on coupe le rayon CM en deux cgalement an point ,W,&q,u onmene HF perpendiculaire furle rayon re rlechiAfF, il coupera ce rayon en un point .F, ou il touche !a cauftique AFK. II eftclair que le rayon re flechi MF eft e gal a la moitie de 1 incident PM ; d ou il luit, i. Qiie le point P rom- bant en C, le point F tombe en K milieu de CB. 1. Qne Ja portion AF eft triple de MF, &. la cauftique AFK triple de BK. On voit auffi que fi Ton fait 1 angle^CJV/ demi-droit , le rayon reflechi Mf fera parallele a AC> & partant que le point F fera plus eleve au deflus du dia metre AD, que tout autre point de la cauftique, Le cercle qui a pour diametre Mff, pafle par le point Fi puifque Tangle HF-M eft droic. Et fi Ton de crit du cen tre DES INFINIMENT PETITS. I. Part. 113 tre C 8c du rayon CK ou CH, moitie de CM , le cercle KH"Gi 1 arc HFfera. egal a 1 arcH^: car 1 angle CMF etanc egal a CMP ou fCK, les arcs \HF, HK qui mefu- rent ces angles dans les cerdesMFH, KHG, feront en- tr eux comme les rayons \MH, HC de ces cercles. D ou 1 onvoitque la cauftique ^.FK eft une roulette formee par la revolution du cercle mobile MFH autour de 1 immo- MeKHGy done 1 origine eft en.K,&lefommeten^. EXEMPLE III. lll> S o i T la courbe AMD un cercle qui ait pour dia- FIG. 103. metre la ligne AD , & pour centre le point C; foit le point lumineux^, d ou partent tous les rayons incidens AM , 1 une de-. extremites de ce diame tre. Si Ton mene du centre C fur le rayon incident AM la perpendiculaire CE . il eft clair par la propriete du cercle, que le point E coupe en deux parties e gales la corde AM> & qu ainfi ME (a) = \y. On aura done Mf(^ a ) \y: c eft a dire qu il faut prendre le rayon refle chi MF egal au tiers de Pincidenc AM. D ou Ton voit que \AD,CK = \CD,lx. que * la cauftique^.FK * Art. n , de meme que fa portion AF = AM. Si Ton prend AM =AC, le rayon refle chi MF fera parallele au diamerre AD; & par confe quent le point F fera le plus eleve qu il foit poflible au deffiis de ce diamecre. Si Ton prend CH {CM, & qu on tire HF perpen. diculaire fur MF ; le point F (era a la cauftique : car me- nant HL fcrpendiculaire fur AM, il eft clair que ML = \ME \AM, puifque MH = \CM. Le cercle qui a pour diamerre MH, paflera done par le point F de la cauftique ; Sc fi J on decnt un autre cercle KHG du cen~ ii4 ANALYSE lera egal a Tare HF .- car oans le triangle ifofceIeCAfv4 Tangle externe KCH zCMA AMF; Scpartant les arcs HK y HF mefures de ces angles dam des cercles e- gaux , feront aulfi egaux. D ou il ilut que la cauftique AFKzft. encore une roulette decnce par la revolution du cercle mobile MfWaurour de Pimmobile K.HG , done 1 origine eft en K, & le iommec en A. On pourroit encore prouver ceci de cecte autre ma- nie re. Si 1 on decrit une roulette par la revolution d un cercle egal au cercle^MD aucour de celui ci, en com- rnenc:antau point^J Ton a de montre dansleCorollaire *Arc. in- fecond *qu elleaura pour developcela cauftique^FK.Or * An. ioo. s cette developee eft une roulette de merne efpece, c eft a dire que les diame tres des cercles gcnerateurs en Je- ront e gaux ; &c on determinera le point K enprenant LK troifieme propornonnelle 3 CD -+-DA c a CD, c eft a dire cgalea JCD. Done, &c. EXEMPLE IV. FIG. 104. in. o IT la courbe AMD une demi- roulette ordinai re decrite par la revolution du demi cercle NGM fur la droite B~D, dont le fommet eft en A , & 1 origine en D j foient les rayons incidens KM paralleled a 1 axe AB. "Art. 95. Puifque *MG eft e gale a la moitie du rayon de la deve- *Art. 113. lopee, il s cnruit*quefi 1 on mene G^perpendiculaire fur le rayon reflechi MF , le point F fera a !a cauftiquePf B. D ou Ton voit que MF doit etre prife e gale a K-M. Si 1 on mene du centre Hdu cercle generateur3/GJV au point touchant G, &au point de crivant M, les rayons H G,HM;\\ eft clair queHG fera perpendiculaire furg D, & que 1 angleG/Wf /i/G/f= GMK.: d ou Ton voit que le rayon reflechi MF paffe par le centre H. Or le cercle qui a pout diametreG.fi", paffe auffi par le point F jpuifque Tangle GFHeft droit. Done les arcs GAT, \GF> mefures du meme angle GHN, feront entr eux comme les diametres DES INFINIMENT P EXITS. I. P^trt. ny ,H de leurs cercles ; St parcant 1 arc G.F = GN = GB. II eft done evident que la cauftique DF B eft une roulette decrite par la revolution entiere du cercle GFH fur la droite BD. EXEMPLE V. II}. So IT encore la courbe AMD une demi roulette FIG. 105. ordinaire, dont la bafe BD eft egale a la demi-circonfe- rence ANB du cercle ge nerateur. Et foient a preTent les rayons incidens PM paralleles a la bafe BD. Si 1 on mene G^perpendiculaire fur PM, les triangles rectangles GQM , BPN feront egaux & femblables ; c partant MQ^^=PN. D ou 1 on voit *qu ilfaut prendre *Art.^)^ -(Wegaleal appliquee correfpondante /yvdansledemi- 113- cercle gene raceur ANB. Afin que le point F foit le plus eloigne qu il eft poffi- blede 1 axe^^, il faut que la tangente MF en ce point foit parallele a cet axe. L angle/M^f* fera done alors droit, fa moitie PMG ou PNB demi droit ; & partant le poinc P tombera dans le centre du cercle AND. C eft une chofe digne de remarque, que le point p approchant enfuite continuellement de 1 extre mite J5, le point F approche auffi de 1 axe^^ jufqu a un certain point K, apres quoi il s en eloigne jufqu en/); de forte que la cauftique AFKFD a un point de rebrouffement en K. Pour le determiner, je remarque * que la portion AF *4 n ]I0 . = PM-t-MF, la portion AFKHL-*-LK > &.\& portion UI . K.F de la partie K.FD, eft ~HL-*-LK. PM MF : d ou 1 on voit que HL -+- Z/C doit etre un plus grand. C eft pourquoi nommant Aff,x;HI,y> 1 arc^y, u; 1 on aura dont la difFerence donnc du -t- 2dy adx ndx o , & - + 2dy = o , en mettant pour du fa valeur - d ou 1 on tire adx = 2ydy = 2xdx zadx a caufe du cercle; & partant AH (x) =\a, Pij u6 ANALYSE COR.OLLAIRE. 1x4. L ESPACE AFM ou AFKFM renferme par les portions de courbes AT ou AFRF, AM^ & par le rayon re. rlechi /W, eft egal a la moirie de 1 efpace circul&ire A P2f. Car fa difference, qui eft le fe deur FMO , eft egale a la moitie du rectangle PfcStf, difference de 1 efpace ^/W; puifque les triangles rectangles MQ m , MRm etant egaux & femblables , MQ fera egale a MR ou .2V5 ou />/, Sc que deplus EXEMPLE VI. FIG. 106. nj. ^OIT la courbe AMD une demi- roulette formee par la revolution du cercle AJGNautour de fon egal^G/C, dont 1 origine eft en ^, & le fommet en D > foient les rayons incidens^yi/qui partent tous du point A. La li. gne Hqu\ joint les centres des deux cercles gene rateurs, pafle continuellement par le pome touchantG , &i les arcs GM,GA comme auffi leurs cordes, font toujours egaux ; ainfi 1 angle HGM=BGA, 5c Tangle GMA^GAM. Or Tangle HGM-+BGA = GMA-^-GAM; puifqu ajoutanc depart Scd autre le meme angle AGM, on en forme deux droits. Done Tangle HGM fera toujours egal a Tangle GMA , & parrant auffi a Tangle de reflexion GMf . d ou il fuit que MF pafTe toujours par le centre ff du cercle mobile. Maintenant fi Ton mene les perpendiculaires C, GO fur le rayon incident AM-, il eft clair que A4O = OA, & que *yfrMoo. QE= \QM; puifque * le point C etant a la de velopee, GC \GM. On aura done ME = AM, c eft a dire a=-\y ->& par confe quent MF (- - ) =^~y - d ou Ton voit que fi Ton mene GF perpendiculaire fur MF^ls point F fera a la cauftique AFK. Le cercle qui a pour diametre GH , pafle par le points &!es arcsG^/, {GF, mefuresdu meme angle GHM, e tanc DES INFINIMENT PETITS. /. Part. 117 entr euxcommelesdiame tresjWTv , GH de leurs cercles, 1 arc GF feraegal a 1 arcGAf , & par confe quent a 1 arc GA. D ou il eft evident que la cauftique AFK eft une roulette de critepar la revolution du cercle mobile HFG autour de 1 immobile AGK. COROLLAI RE. 12,6. S i Ton de crit un cercle qui ait pour centre le point B , & pour rayon une droite e galea BH on AK\ & qu il y ait une infinite de droites paralleles a BD qui tombent fur fa circonfe rence : il eft vifible * qu elles for- * 4 rt . n meront en fe re fle chiflant la memc cauftique AFK. EXEMPLE VII. I2| 7* So IT la courbe AMD une logarithmique fpira- FIG. io/. le , avec les rayons incidens AM qui partent tous d u cen tre A. Si Ton mene par I extremite C du rayon de la de ve- lopee la droite CA perpendiculaire fur le rayon inci dent AM, elle le rencontrera * dans le centre A. C eft *Art.yi. 2=y. Le triangle AMF fera done ifofcele ; & comme les angles d incidence 6c de reflexion AMT, FMS font e gaux en- treux, il s enfuitque Tangle AFMeftegal a Tangle AMT. D ou il eft clair que la cauftique AFK fera une logarith mique fpirale qui ne differera de la propofee AMD que par fa portion. PROPOSITION II. Probleme. Ilo. J^A cauftique HF far reflexion etant donnee avec le p IGi I0 g faint lumineux B ; trouver une infinite de courbcs tcllcs que AM j dont elle foit cauftique far reflexion. Ayantprisa difcretion fur une tangentequelconrjucH^ le point A pour un des points de la courbe cherchc e A Mi P iii nS ANALYSE on decrira du centre 7?, de 1 intervale J9/4 1 arc de cercle AP , t d un autre intervale quelconque BM, un autre arc de cercle. EC ayanc pris^H"-*- H E==.BM BA ou PM, on de velopera lacauftique //f en commencant au point Ei &i Ton decrira dans ce mouvement une ligne courbe EM qui coupera Tare de cercle decrit du rayon * Art. no. BM, en un point M qm fera * a la courbe AM. Car par conftruclion PM ->- M F = AH -t- /f f . Ou bienayant attache unfi! BMFyarks exrre mitez en J?5cen .F, on fera tendre cefil par lemoyen d un ftile place enyl/, que Ton fera mouvoir en forte que 1 on envelopera par lapartievW^ 1 de cefil la cauftique H.F > il eft clair que ce ftile decrira dans ce mouvement la courbe cherche e MA. AUTRE SOLUTION. - A.YANT tire a difcre tion une tangente F/J/aurre ^, on cherchera fur elle un point Af, tel que BM *-MF=EA-*-AH-*-HF. Cequi (e fera en cette forte. Soit prife FK=B A -+-AH+HF, &i divifant BK par le milieu en G, foit tire elaperpendiculaireG/^.-elle rencon- trera la tangente FA-ISM point cherche M. CarBAf=MK. FIG. 109. Si le point ^etoit infiniment eloigne de la courbe AM, c eftadire que les rayons incidens j?^/, .Z? M fuflenrparal- leles a une ligne droite donne e de pofition ; la premiere conftruftion auroit toujours lieu , en confiderant que les arcs de cercles de crits du centred deviennent des lignes droites perpendiculaires fur les rayons ineidens. Mais cec- re derniere deviendroit inutile; c eft pourquoi il faudroic lui fubftiruer celle qui fuit. Soit prife FK=AH-*-HF. Ayanttrouvele point Mtel que MP parallele a AB perpendiculaire fur AP, foit e gale * Art, no. a yW/C:ileft clair* que ce point fera a la courbe cherche e A Mi puifque PM-*-MFAH-*-HF. Or cela fe fait ainfi. Soit mene e KG perpendiculaire fur APi & ayant pris KO = ^G, foient tire es KP parallele a OG, &i PN paralle le a GK je dis que le point M fera celui qu on cherche. DES INFINIMENT PETIT s. 1. Pan. 1 1 9 Car a caufe des triangles femblables GKO , PMK. , l n aura PM= MK 5 puifque GAC KO. Si la cauftique W.F fe reunifloit en un point, la courbe deviendroit une fe&ion conique. COR.OLLAIRE I. IL eft clair que la courbe qui pafle par tous les points K , eft formee par le developement de la courbe HF en commencant en^, (kqu elle change de nature a mefure que le point A change de place fur la tangente AH. Done puifque les courbes AM naiflcnt toutes de ces courbes par la mcme conftruclion , qui eft ge ometri- que ; il s en(uit*qu elles font d une nature difference en- +An. 108. tr elles, & qu elles ne font geome triques que lorfque la cauftique Hf eft geometrique & re ftifiable. COROLLAIRE II. 3 1 LJ NE ligne courbe Z)yVetant donnee avec un point FIG. no. lumineux C > trouver une infinite de lignestellesque^Af, en forte que les rayons reflechisD^, NMfe reunillent en un point donne , apres s etre reflechis de nouveau a la rencontre de ces lignes AM. Si Ton imagine que la courbe HF foit la cauftique de la donnee DN, formee par le point lumineux C > il eft clair que cette ligne HF doit etre auffi la cauftique de la courbe ^Afayant pour point lumineux le point donne : B > de forte que FK=BA-*-AH-+- HF , 6c NK= BA+AH -*-HF-*-FN~BA->-AD+-DCCN, puifque *//D ~*-DC=.HF-*-FN-*-NC. Ce qui donne cette conftru- flioo. Ayant pris a difcretion fur un rayon re flechi quelconque le point A pour un des points de la courbe cherche e AM^ onprendrafurun aucre rayon re fle chi 2VA/ telqu on vou- dra, la panic NK=BA+-AD+DC CNl & Ton trou- vera le point cherche Mcomme ci-dellus , art. 119. uo ANALYSE SECTION VII. Ufage du Calcul des differences pour trouuer les s par refraction. D E F I N I T I O N. Fic. in. Q^I 1 onconCjOitqu une infinite de rayons^y^SA/, Z?D, ^jqui parcent d un meme point lumineux B, fe rompent i la rencontre d une ligne courbe^A/D, en s approchant ou s eloignant de fes pcrpendiculaires MC > en forte que les finusCdes angles d mcidenceCAifi, foient ton jours aux finus ( G des angles de refradionCA/G.en meme rai- FIG. iiz. fon donnee de m a ; la ligne courbe HFN que touchent tous les rayons rompus ou leurs prolongemens^//, Mf, DN , eft appellee Cafftique fat refr*ttion. COROLLAIRE. 131. S i Ton envelope la cauftique HFN en commen- ^ant au point ^, Ton decrira la courbe^Z/C telle que la tangente LF plus la portion f Hde la cauftique fera con- tinuellement e gale a la meme droite^//. Et fi 1 on con- coit une autre tangente .FWinfinimenc proche de/"jWZ, avec un autre rayon coincidence 2?, &qu on decrivedes centres F, /?, les petics arcs MO, MR : on formera deux pe- tits triangles rectangles AfJZ,AfO/qui(eront femblables aux deux autre.s MEC, MGC, chacun a cbacun ; puifque fi Ton 6te des angles droits RME, CAfm le meme angle EMm, les angles reftans RMm, EMC feront egaux ; & de meme fi Ton ote des angles droits G^ O, CMm le meme angle GMm,\es reftans OAfm,GMC feront egaux. Ceft pourquoi Km. Om:: CE . CG : : m. n. Or puifque Rm eft *An. 96. la difference deM,&Om cells de LMi il s enfuit*que BM BA fomme de toutes les differences Rm dans la. portion de courbe ^A/, eft a ML ou AH MF FH forame de toutes les differences Om dans la meme por tion. DES INFINIMENT PET ITS. I. Part. in tion AM > comme m eft a n > Sc parcant que la portion .FJf = ^rt MF +" n BA n ^ BM. II peuc arriver diffe rens cas , felon que le rayon inci dent BA eft plus grand ou moindre que.SAf, 8c que le rompu y^/f envelope ou develope la portion HF : mais onprouvera coujours, comme Ton vienc de faire, que la difference des rayons incidens eft a la difference des rayons rompus (en joignant a 1 un d eux la portion de la caufti- quequ il develope avantque de comber fur I autre) com- mewefta . Par .exemple,^^ BM-AH MF Ffffic. ui. ::m.n.d ourontireFH4ffMF-t-~ BM- BA- m m Si Ton de crit du centre B 1 arc du cercleAPsil eftclair FIG. m. que PM fera la difference des rayons incidens 11M,A.Et li 1 on fuppofe que le point lumineux B devienne infini- ment eloigne de lacourbe AMD, les rayons incidensZ?^, M deviendront paralleles, 8c 1 arc AP deviendra une li- gne droite perpendiculaire fnr ces rayons. PROPOSITION I. Probleme general. J 35- LA nature de la courbe AMD , le faint lumineux B , FIG. in. & le rayon incident B M etant donnes j trouver fur le rayon rompu MF ctonne de pofition , le faint F ox il touchc la caufti- que par refraction. Ayant trouve* la longueur Jl/Cdu rayon dela develo- * Sf H- 5- pee au point donne Af, & pris 1 arc Mm infinimenc petir , on tirera les droitesj?w, Cm^Fmi on de crira des centres E,F, les petits arcs MR, MO; on menera les perpendi- culaires CJS, Ce, CG, Cg fur les rayons incidens & rompus ; & 1 on nommera les donne es M,y; ME, a ; MG, b ; & le petit arc M R, dx. Cela pofe, Les triangles rectangles femblables MEC & MRm, 1MGC 6c MOm, BMR & Qe , donneronc ME (a) . MG (b) :-MR (dx) .MO~. &BM (y) . ^^ou BE Hi A N A L Y S E {y + *)::MR (Ax) . ge, =-- ^.-^*. Qr par la pro- prie te de la refraction Ce . Cg .- .- CE . CG : : m . n. EC par rant m.n-.-.Ce CE ou Qe f Wv " Kr ^j. Cg CG ou s &= ~ ^^"^.Donc a caufe des triangles rectangles fem- M0(~) :: MS ou A/G ^ ; . jVf.F=: - ^ _ Ca > * / x f^ ^ ^^ qui donne cette conftrudion. FIG. 115. Soit fair vers CM Tangle ECU = GCM, & foit prife vers5, MK = j-.Je disquefi Ton fait HK.HE::MG. MF. le point .F fera a la cauftique par refraction. Car a caufe des triangles femblabIesCGA/,C//,l on aura CG.CE-.-.n.m-.: MG(b).EH=^ D ou Ton tire HE-ME ou HM= ~ , HMMKau HK = tm y-*y-* . & partant ,.-,-, _ II eft clair que fi la valeur de HK eft negative, cellede JWFle(eraau(H:d i)U il fuit que le point M tombe entre les points G, P, lorfque le point H fe trouve entre les points A.", E Fie. in. ii . Si le point lumineux B tomboic du cote du point , ou ( ce qui eft la meme chofe j (i la courbe 4MD e toic concave du cote du point lumineux Z?;/deviendroit ne gative de pofitive qu elle e toic auparavant, 6c Ton auroit ,- bhmy bbmy par confequent MF _ l>m , / j k . MJ _ ^r n ou t my - any + ^h Et la conftruction demeureroic la meme. Si Ton fuppofe quej/dev?enne infime: c efta dire quelc point lumineux B foic inrlniment eloigne de la courbe AMD; les rayons incidens feront paralleles entr eux, 8c Ton aura MF j^_l" an , parceque le tenne aan fera nul DES INF IN i M ENT PET i T s. 1. Tart. 125 par rapporc aux deux aucres bmy, any > & comme MK ( ) s evanouit alors, il n y aura qu a aireHM.HE::MG.MF. COR.OLLAIR.E I. J 34* ON demontrera, de meme que dans !es caufti- quespar reflexion*, qu une ligne courbe^A /Dn aqu une * Art. 114. feule cauftique par refraction, la raifon de m a n etant n 5- donnee; laquelle cauftique eft toujours geometrique c re- ctifiable ) lorfquelacourbepropofee^./W7}eftgeornetrique. COROLLAIR.E II. l $5 S i le point E tombe de 1 autre cote de la perpen- diculaire MC par rapport au point G , & que CE foic egale a CG ; il eft clair que la cauftique par refraction fe changera en cauftique par reflexion. En effet on aura MF ( ^2L 1 =^..5 puifque m=n, Bequest devient \brny *Any^. anus ly *+ a, * negative de pofitive qu elle etoit,& de plus egale a b. Ce qui s accorde avec ce qu on a de montre dans la fedion precedente. Si m eft infinie par rapport a n ; il eft clair que le rayon rompu .MFtombera fur la perpendiculaire CM: de forte que la cauftique par refraction deviendra la developee. En effet on aura 7^^=^, qui devient en cecas MC: c eft- a-dire que le point F tombera fur le point C, qui eft a la developee. CoROLtAIRE III. I 3 < ^ J i la courbe AMT) eft convexe vers le point lumi- neux B, & que la valeur de MF (j^~f=zz) foic pofitive ; il eft clair qu il faudra prendre le point F du meme cote du point G> par rapport au point M , com me on I a fuppofe en faifant le calcul: &qu au contraire fi elle eft negative , il le faudra prendre du cote oppofe. II en eft de meme lorfque la courbe AMD eft concave vers le point B > mais il faut obferver qu on aura pour lors QJJ ANALYSE *T^ D oinl fuit que les rayons rompus infiniment proches font convergens lorfque la valeur de Mt eft poficive dans le premier cas, & negative dans le fecond: &qu au contraireils font divergen.slorf]u elleeft negative dans ie premier cas , 6c pofiuve dans le fecond. Cela pofe , il eft evident , 1. Que fi la courbe AMD eft convexe vers le point lumineux B, & que m (bit moindre que ; ou que fi elle eft concave vers ce point, & que m (urpafTe n: Ics rayons rompus infiniment proches feront toujours divergens. 1. Que fi la courbe AMD eft convexe vers le point lumi, neux j5, &que2furpa(Ie w; ou que fi elle eft concave vers ce point, &quefoit moindre que : les rayons rompus infiniment proches feront convergens, lorfque MK(-) i i eft moindre que MH( ^ou^ ^)j divergens, lorf- qu elleeft plus grande ; & paralleles,lorfqu elle eft egale. Or comme A^/C^o, lorfque les rayons incidens font pa- ralleles, il s enfuit qu en ce cas les rayons rompus infini ment proches ferunt toujours convergens. COROLLAJRE IV. ! 37 S i le rayon incident BM touche la courbe AMD au point Af, Ton aura ME(a) = oi&i partant MFb. Ce qui fait voir que le point F tombe alors fur le point G. Si le rayon incident J3 M eft perpendicuiaire a la courbe AMD, les droites ME (a] 8c MG(b] deviendront cga- les chacune au rayon CMde la developee ; puifqu elles le confondent avec lui. On aura done MF b - my ^ , my ny ^- bn qui devient ^^ lorfque les rayons incidens font paralle- les entr eux. Si le rayon rompu .MFtouche la courbe AMD au point ^/, I on aura MG ( b ) =- o. D ou Ton voit que la caufticjue touche alors la courbe donnee au point M, DES INFINIMENT PETIT s. /. Part. 125 Si le rayon CM de la developee eft nul ; les droircs ME ( a ) , MG ( b } (eront atiffi egales a zero s & par confe- quenr les rermes^rfw, ^wzy font mils par rapport aux au- tres bmy, any. D ou il fuit c\\\MF o; &qu ainfi la cau- ftique a le point Af commun avec la courbe donne e. Si le rayon CM de la developee eft infini ; les droites ME(a), MG(b] ieront auffi infimes ; & par-conlequenc les termes bmy, any ieront nuls par rapport aux autres aan. bbmy -. de forte qu on aura MF ~ - x -. Or*com- * An. 155- -4_.i,i me cette quantite eft negative lorfque 1 on fuppofe que le point jp tombe de 1 autre cote du point B par rapport a la ligne AMD, & qu au contraire elle eft pofitive lorf- qu on fuppo equ il tombe du meme cote; il s enruit*que *An, ij<. 1 on doit prendre le point F du meme cote du point B, c eft-a-direqueles rayons rompusinfiniment prochesfont divergens. II eft evident que le petit arc Mm devient alors une ligne droite, & que la conftruclion precedente n a plus de lieu. On peut lui lubftituer celle ci , qui fervira a determiner les points des cauftiques par refraction lorf que la ligne AMD eft droite. Ayant mene BO perpendiculaire fur le rayon incident FIG. 114. BM, Si qui rencontre en O la droire MC perpendiculai re fur AD y on tirera OL perpendiculaire fur le rayon rompu MG, & ayant fait \ a.nv\BOH egal a 1 angle LOM^ on fera BM- BH :: ML . Mf. Je dis que le point.F fera a la cauftique par refraction. Carles triangles reft.a.ngksAfEC&.MBO,MGC&iMLO feront toujours femblables de quelque grandeur que 1 on fuppofe CM; & partant lorfqu elle devient infinie, Ton aura encore ME (a] . MG ( b } .-. BM(y} . ML = Et a caufe des triangles femblables OLM, OBH, 1 on aura auffi OL.O(n.m) .-.- ML (^). BH= . D ou Ion voic que u(J ANALYSE COROLLAIR.E V. ijo- 1 L eft clair que deux quelconquesdes trois points B , C, f , etant donne s, on peut facilemenc trouver le troifieme. EXEMPLE I. FIG. 115. ij9. S o i T la courbe AMD un quart de cercle qui ait pour centre le point C ; foient !es rayons incidens BA, BM, BD paral leles entr eux , & perpendiculaires fur CD> foit enfin la raifon de m a n , comme ^ a 2, qui eft celle que fouffrent les rayons de lumiere en paffant de 1 airdans le verre. Puifque la developee du cercle AMD fe reiinic en un point C qui en eft le centre, il s enfuit que fi Ton de crit une demi-circonference MEC qui ait pour diamc- tre le rayon CM, & qu on prenne la corde CG = ^CE; la ligne MG fera. le rayon rompu, fur lequel on determi- nera le points, comme Ton a enfeigne ci-devant art. 133. Pour trouver le point /foule rayon incident BA^er- pendiculaire fur AM~D touche la cauftique par refra- *Art. 137. dion,l onaura*^f/ J=^ = ^C^.Et fi Ton decrit une demi-circonference CND qui ait pour diametre le rayon CD , & qu on prenne la corde CN^=~CD ; il eft * Art. 137. c l a i r t q uc ] e point N fera a la cauftique par refraction, puifque le rayon incident BD touche le cercle AMD an point D. *An. 131. Si Ton mene AP parallele a CD; il eft vifib!e*que la portion FH=AH MF f PA1: de forte que la cau ftique entiere HFN= }CA DN= 2 ^L C A. FIG. i\6. Si le quart de cercle AMD eft concave vers les rayons incidens BM, & que la raifon de m a n foit de 2 a j ; on prendra fur la demi-circonference CEM(\ui a pour dia metre le rayon CM, la corde CG ~ ^ CE , & on tirera le rayon rompu MG fur lequel on de terminera le point F par la conftrudion gene rale art. 133. DES INF INI ME NT P E T i T s. /. Part. 117 On mr^AH f^ j=- 2 , c eftadireque^-F/fera du cote * de la convexite du quart de cercle^A/D, & *.//. 136. double du rayon AC. EC fi Ton fuppofe que CG on ^ CE foit egale a CM;ileft manirefte quele rayon rompuMF touchera le cercle ^MDen A^, puifqu alors le pome G fe confondra avec le pome M. D ou il fuit que fi Ton prend CE = jCD, le point M tombera au point N ou la cau ftique I-IFN* touche le quart de cercle AMD- Mais lorf- *An. 157. que CE furpafTe -* CD, les rayons incidens B M ne pour- ront plusfe rompre, c efta dire pafTer du verredansl air; puifqu il eft impoflible que CGperpendiculaire fur le rayon rompu JWG, foit plusgrande que CM : de forte que tons les rayons qui tomberont furlapartieT^Dfe reflechironr. Si 1 on mene AP parallele a CD 5 il eft clair * que la * An. 131. portion FH=AH M F -t- \-PM : de forte que menant 2SK. parallele a CD , la cauftique entiere HFN= EXIMPLE II. J4 boir la courbe AMD une logarithmique fpirale FIG. n 7 . qui ait pour centre le point A > duquel partent tous les rayons incidens AM. II eft clair* que le point E tombe fur le point A , c eft *^ rti , a dire que a =y. Si done 1 on met a la place de a fa va- leur^ dans ^ _^ ^ valeur * de Me lorfque la courbe eft concave du core du point lu mineux ; on aura MF~b; d ou Ton voit que le point F tombe fur le point G. Si Ton mene la droite^G,&la tangente AiT jl ano-Ie AGO complement a deux droitsdel angle^/GM,feraegal a Tangle AMT. Carle cerclequia pourdiametre laligne C^f, paflant par les points A&.G, les angles^GO^yWr ontchacun pour mefure lamoitie du meme arc AM. II eft done evident que la cauftique ^GJVeft la meme lo- nS ANALYSE garichmique fpirale que la donnceA MD, & qu elle n en differe que par fa poficion. PROPOSITION II. Probleme. Fic.iiS. j^j. J^ A cau [Hq Ue HF far rcfraftion etttnt donnte avec fan point lumimux B , &la raifon de m a n ; trouver une in finite de courbe s telles que AM , dont eUefoit cauftique far re- frafiion. Ayant pris a difcretion fur une tangente qnelconque If 4, le point A pour un des points de la courbe AM, on decrira du centre B & de 1 intervale BA 1 arc de cercle AP> 8c d un autre intervale quelconque BMvm autre arc de cercle ;&ayant pris AE = PM, on decrira en en- velopanc la cauftique HF une iigne courbe EM, qui cou- pera 1 arc de cercle decrit de 1 intervale B M, en un point *Art. 151. M qui feraala courbe cherchee. Car*/ 7 ^. AE o^ML :: m. n. AUTRE SOLUTION. 142.. v^/N cherchera fur une tangente quelconque FM, autre que/f^, le point M tel que HF+-FM-*- ^^Af =HA -i- ^ .S^. C eft pourquoi fi 1 on prend FK= n ~ BA -+- API Fff, &qu on trouve fur FK un point M tel que *Art. 131. MK = - BM, il fera *celui qu on cherche. Or cela /e m i Fie. 119. peut faire en decrivant une Iigne courbeGMtelle que me- nant d un de fes points quelconque M aux points don- nes2?,-K,lesdroites MB, MK, ellesayent toujours entr - elles un meme rapport que mzn. II n eft done queftion que de trouver la nature de ce lieu. Soit pour cet effet menee MR perpendiculaire fur BK, & nommee la donnee BK , a ; & les indeterminees R y xj RM,y. Les triangles redangles BRM, KRM donne- ront B M == V^^ -t-jy," Si KM Vaa zax -t- xx -*-yy: de DES INFINIMENT PETIT s. l.Part. 119 de forte que pour remplir la condition du Probleme , Ton aura V.vx . yy ^~aa~ zax -+- xx -*-yy .-; m . n. D ou i on tire ""* -"""..^ qu j e ft un lieu au cercle que I on // mm nn conftruira ainfi. Soit prife G = s ^,&5.==T^!rs , & foic decrit du diametreG> la demi-circonference GM<2^: je dis qu elle fera le lieu requis. Car ayant^J2ou^ c ^^j ^= " * -- ,v, tiRGouBRJlG^x--^^-, lapropnete du cercle, qui donne QR x RG=RM\ donnera en termes analyti- mmmx aam>n ques yy= - xx. ^ ^V mm nn Si les rayons incidens BA, BM font paralleles a une FIG. m droite donnee de pofition, la premiere lolution aura tou- jours lieu ; mais celle ci deviendra inutile, & on ponrra lui fubftituer la fuivante. Soit prife FL AH HF ; & ayant mene LG pa- rallele a AB & perpendiculaire fur AP> on prendra LO ^ ZG, &con tirera Z/ parallele a GO, &.PM paralleie a G L. l\^(\: clair*que le point Af Cera, celui qu on cher- "^/-MJI. che ; car puifque LO ="-ZG, ML =PM. 11 / n> Si la cauftiqueFWpar refraction, fe reunitenun point; les courbes ^/i/deviennent les Ovales de Defcartes , qui one fait cant de bruit parmi les Geometres. COR.OLLAIRE I. J 43" C_/N demontrede meme que dans les cauftiques par rerlexion*, que les courbes A-M font de nature diffcrenrc *. -/;/. 130. entr elles, & qu elles ne font geometriques que lorfqueia cauftique Hf par refraction eft geometrique & redvh able. COROLLAIKE .II. 1 44 t LJ NE g ne courbe AM etant donnee avec le Fie. m. point lumineux jS t & la raifon de m an } trouver une mfi- R 130 ANALYSE nice de lignes relies que/)Af, en Torre queles rayons rom- pus MNfe rompencde nouveau a la rencontre de ces li gnes DA pour fe rcunir en un point donne C. Si Ton imagine que la ligne courbe Hffoit la cauftique par refraction de la courbe donnee AM , formee par le point lumineux .$ > il eft clair que cette meinehgne I-iF doit etre auffi la cauflique par refradion de la courbe cher- chee DN, ayant pour point lumineux le point donne C. 131. C e ^ NC=HD- ~DC;& partant BA+AH = BM + MN -t- HD -DC-*--NC;&. rranfpo- TO W W 1 fanta l ordinaire, 5^ ^ J?M -t- 1 DC-*-AD=MN + ~ yVC. Ce qui donne cette conftruction. Ayant pris a difcretion fur un rayon rompu quelcoo, que AH. le point D pour un de ceux de la courbe cher- chee D2V, on prendra fur un autre rayon rompu quelcon- que MF lapartie MK ~ BA ^ BM -*- ^ DC-*- AD; An. 141. & ayant trouve, comme ci.deflus*, le point TV tel que An. 131- ;y/<; = | A^c, il eft clair* qu il feraala courbe DN. COROLLAIRE Gt NE RAL. Pour les trois Sections frecedentes. *An. So. 14 j, j^ L eft manifefte * qu une ligne courbe n a qu une j? feule developee, qu une feule cauftique par rerlexion, 8c J qu une feule par rcfraclion , le point lumineux & le rap- up. 154. J - r, . i /- r port des nnus etantdonnes, leiquelles hgneslont toujours ge ometriques & rectifiableslorfque cecte courbe eft geo- metrique. Au lieu qu une meme ligne courbe peut etre la developee, & Tune ScPautre cauftique dans le meme rap port des finus, 6c dans la meme pofition du point lumi- neux, commune a une infinite de lignes tres differences entr elles, & qui ne font geometriques que lorfque cette covirbe eft geome trique 6c reclifiable. DBS INFINIMENT PETITS. /. Part, 131 SECTION VIII. du calcul des differences four trouvcr les points des Ifrnes courses am touchent une infinite de livnes <^ L J <-> donnees de pofition , droites on courses. PROPOSITION I. Probleme. Sort donnee une ligne quclconque AMB, qui rf/V four axe la droite AP ; foient de plus ent endues une infinite deparabolcs AMC, AmC, quifajient tomes far le point A, & qui ayentfour axes les affliqueet PM , prn. ll fait trouver la ligne course qui touchc toutes ces Paraboles. II eft clair que le point touchant de chaque parabole AMC eft le point d mterfedion C ou la parabole AmC , quieneft infinimen: proche, la coupe. Celapofe,&ayanc mene CK parallele a MP, foient nommees les donnees AP,x; PM,y; Sclesinconnues AK,u; KC , ^ On aura par la proprietede la parabole, Tp 1 (\x) .TK 1 (uu zux -i- xx) :-. MP (y) . MP CA (y ^). Ce qui donne %xx = 2iixy uuy, qui eft 1 equation commune a toutes les parabules telles que dMC. Or je remarque que les in- connues AK. (u) Si KC (z.) demeurent les memes, pen dant que les donnees AP (x) & PM (y) varient en de- venant jtp± &: qu il n arrive que KC (\) demeure la meme , que lorfque le point C eft celui d inrerfc- &ion : car il eft vifible que par tout ailleurs la droite KC coupera les deux paraboles AMC, Amr en deux diffe- rens points, 6c qu elle aura par conlequenc deux valeurs qui re pondronta la meme de A\. C eft pourquoi fi Ton traite u & ^comme conftantes , en prenant la difference de 1 equation que Ton vient de trouver, on determine- ra le point C a etre celui d intcrfedion. On aura done 2uxdy-+- zuydx uudy .-d ou Ton tire I mconnue Rij 131 ANALYSE AK (u) = $H-en merrant pour ^ fa valcur iv<y--. y nature j e i a cour be A MB c tant donnee, on trouvera une valeur de^y en afx, laquelie e rant fubfti. tue e dans la valeur de^A!, cette inconnut; fera enfin ex- primee en termes entierement connus & de iivre sdes dif ferences. Ce qui etoit propofe. Si au lieu des parabolesWMC,on propofoit d ancres lignes droites ou courbes done la poficion ;iit dctermine e, on re- loudroit toujours le Probleine a pcu pres de la meme ma- nierc : 6c c eft ce que Ton verra dan:> les Propofitions (uivan- res. E x E M P L E. I47- uE 1 equation xx = ^.ay *f.yy exprime la na ture de la courbe AMB : elle (era une demi - ellip/e qui aura pour petit axe, la droite AB = a perpendiculaire fur AP, &c dont le grand axe fera double du petit. On trouve xdx i= zady qydy ; & partant AK. (^e~^) = ~ = . D ou il fuit que fi 1 on prend AK quacrieme propordonnelle a MP, PA, AB, & qu on mene KC perpendiculaire far AK j elle ira couper la pa- rabole AMC au point cherche C. Pour avoir la nature de la courbe qui touche toutes les paraboles, ouqui pafle par tousles points Cainfi trou- ve s, on cherchera 1 equation qui exprime la relation dc AK. (u) a KC (^) en cette forte. Mettant a la place dc fa valeur dans zgx = zuxy uuy , 1 on en tire = ^ j & partant A: ou^ f^__ . Si done 1 on /I* * !* met ces valeurs a la place de x &y dans xx = ^.ay *- ^.yy, on formera 1 equation w =^aa 4*1%, ou x &)? ne fc rencontrent plus, & qui exprime la relation AcAKa.KC. D ou 1 on voit que la courbe cherche e eft une parabolc qui a pour axe la ligne BA, pour fommet le point , pour foyer le point A, & dont le parametre par confequenc eft quadruple de AB. DES INFINIMENT PET ITS. 1. Part. 133 On vienc de trouverj = -"-, d ou Ion tire KC (z.) __iya Q f comme cette valeur eft pofmve lorfque y syfurpafle*, negative lorfqu il eft moindre, &: nullelorf- qu il lui eft egal: il s enfuic quele point touchant C tom- be au deflusde^P dans le premier cas, comme 1 on avoir fuppofe en faifant le calcul ; au dellbus dans le fecond, Sc enfin fur ^/Mans le rroifieme. Si I on mene la droire^Cqui coupe MP en G; je dis queAfG //>_, & que ie point G eft le foyer de la para- bole AMC. Car , i. AK (j) . KC ( l -^=-^) : : ^ (x) . PG = 2y ^.6cpartant7WG=:^ yBQ^ 1. Le para- metre dela parabole^AfC,eft=^ ^j/en mertant pour xx fa valeur ^-.y ^yj&parcanc^G^* /y eft la qiia- trie me partie du parametre : d ou Ton voit que le point Geftle foyer delaparabole ; &qu ainfi Tangle I?^?Cdoit etre di vife en deux e galement par la tangente en A. II fuit de ce que le parametre de la parabole AMC eft quadruple de Bg^ que le fommec M tombant en A , le parametre fera quadruple de AB , &qu ainfila parabole, quia pour fommec le point A, eft afymptotique de celle qui pafle par tous les points C. Comme la parabole C touche routes les paraboles tellesque AMC> il eft clair que routes ces paraboles cou- peront la ligne determine e J?C en des points qui feronc plus proches du poinc A que !e point C. Or Ton de mon- tre dans la Baliftique ( en (uppofant que AK foit horizon- tale) que routes les paraboles relies que^AfCmarquent le chemin que decnvenr en Tair des Bombesqui feroienc jettees par un Mortier place en A dans toutes les eleva tions poflibles avec la mfime force. D ou il fuit que fi Ton mene unedroite quidivifeparle milieu Tangle BACi elle marquera la pofition que doit avoir le Mortier, afin que la Bombe qu il jette,tombe fur leplan ^Cdonnede pofition, en un point C plus eloigne du Mortier, qu en route autre elevation. R. iij 134 ANALYSE PROPOSITION II. Probleme. FIG. 113. 148. 3 o i T donnee ane course quelconque AM, qni ait four axe la, droite AP ; trouver une autre courbe BC telle qx ^yavt mene a difcretion Pappliquee P M , & la petpendi- cuLnre PC,* cette courbe , ces deux lignesM,1?Cfeientto#- jonn rgala entrelles. Si Ton conceit une infinite de cercles decries des cen tres T 7 , />, & des rayons PC, pC e gaux a PM , fm ; il eft clair que la courbe cherchee 7?C doit toucher tous ces cercles, & que le point touchant C de chaque cercle eft le point d interfection on le cercle qui en eft infiniment proche, le coupe. Cela pofe , foir mene CK perpendicu- laire fur AP> foient nommees les donnees 5c variables AP^ A;J PM ou PC, y> les inconnuesSc conftantes AK, 5 KC , ^; & Ton aura par la proprie te du cercle Tc 1 = PK~ -+ !<c~, c eft a dire en termes analytiquesj/y = xx zux -*- uu -t- ^, qui eft 1 equation commune a tous ces cercles, dont la difference eft zydy = 2xdx 2udx: d ou Ton tire PK. (x = -j^ j ce qui donne cette con- ftrudion generale. Soit menee A/^perpendiculaire a la conrbe^Afj & ayantpris/ 7 K:=/ ^, foittireeXC paralleleaPAf: jedis qu elle rencontrera le cercle de cnr du centre P & du rayon PC = PM au point C, ouil touche la courbe cher chee JBC. Ce qui eft evident; puifque/ J^:-^. On pent encore trouver la valeur de PK de cette au tre maniere. Ayant mene PO perpendiculaire fur Q>, les triangles reclangles/O/ 7 , PKC feront femblablesj & partant Pf (dK). Of (dy) .... PC (y) . PK = *g. Lorfque Pg^=PM> il eft clair quele cercle decrit du rayon PC, touchera KCau points.- de forte que le point DES INFINTMENT PETIT S. 7. 7W. 13 J touchant Cfe conrbndra avec le point K , 6c tombera par confequent fur 1 axe. Mais lorfque PQ^ furpaflera PM , le cercle de crit du rayon PC ne pourra toucher la courbe BC > puifqu il ne pourra rencontrer la droice KCzn aucun poinc. E x E M P L E. 149 S IT a courbe donne e AM, une parabole qui FIG. ait pour equation ax yy- On aura PJgjiu PK (x ti) 1= { a ; & par confequent x = \a-+- 11, &.yy = i^ -t- *a caufe du triangle recTranglc PKC. Or fi I on met ces va- leurs dansrfAr=jj/y, on formera Pequation|rfrf --<*= -^/^ + ^x ou \ aa -*- titt = 5^, qui exprime la nature de la courbe J3C. D ou il eft clair que cette courbe eft la mc- me parabole que AM 5 puifqu elles ont Tune &: I autre le meme parametre a, &. que fon fommet i?eft eloigne du de la diftance BA = a. PROPOSITION III. Problcmc. I/O- o o i T donnee anc ligne courbe quelconqv.e AM , qui FIG. 11 ait four diametre la droite AP , & dont Ics affliquees PM, pm foient faralleles a la droite AQjionnee de fofitionj & ay ant mene MQ^ 5 mq faralleles a. AP, foient tines Ics droites PQC , pqC. On demands la courbe AC qui a pour tangentes toutes ces droites : ou , ce qui eji la meme c/joje, il s agit de determiner fur chaqtte droite PQC le faint ton- chant C. Ayant imagine une autre tangente/^ infinimencpro- che de P>C, 6c mene CK parallele a AQ^ on nommera Jes donnees & variables AP \ xj PM ou Ag^y i les in- connues c conftantes A K , 5 KC, ^5 6c les triangles femblables PAQ^ PKC donnerom AP (x). A 7 (y) : : PK. (x + }. KC (gj = y + -^ . qui eft 1 e quation 136 ANALYSE commune i toutes les droites relies quc KC. Sadiffe rea. ce eft dy + f"* " * =0 d ou i on circle ^ - ~rt-. A-A- I ^tfA; *iy* Cequi donne certe construction generale Soit mene ela tangente/l/r, & foit prife ^K troifienie proportionnellea siT,A! > : jedii que fit on mene KC pa- rallele a A<^ elle ira couper la droite PC au point cherche C. E X E M P L E I. FIG. 114. i jr. 5orT la courbe donnee ^Af, une parabole qui aic pour equation ax=yy. On aura AT=AP> d ou il fuic que ^/K () = x, c eft a dire que le point K combe fur le point T. Si Ton veut a prefent avoir une Equation qui expnme la relation de AK (u) a KC (zji on trouvera KC (z.) zy, puifque I on vient de trouver que PK eft double de A P. Mettant done a la place de x & y leurs valeuft u & \z^ dans ax =} / y, on aura ^au = z&: d ou I on voit que la courbe AC eft une parabole qui a pour fommec le point A , & pour parametre une ligne quadru ple du parametre de la parabole AAi.< EXEMPLE IT. FIG. iij. i ji. $ o i T la courbe donnee AM, un quart de cercle B MD qui ait pour centre le point st> &: pour rayon !a li- g 1 e AB ou AD , que j appelle a. II eft tlair que P^eft toujours egale au rayon AM ou AB , c eft a dire qu elle eft par. tout la meme .- de forte que I on peut concevoir que fes extremite s P,Q^ gliflent le long des cote s BA, AD de I angle droit BAD. On aura AK (u) = *^ , puifque AT= "~ & ies paralleJes /vC 3 ^^_donneront^/ (x j.P^ (a) :: AK (~). QC= . D ou Ton voic que pour avoir le pome touchant C, il n y a qu a prendre QC troifiemc pr^por- DES INFINIMENT P z T i T s. j. Tartle. 137 proportionnelle a PQ^&.AP. Si Ton cherche 1 equation. * qui exprime la nature de la courbe BCD , on trouvera celle-ci, a jaau* -^ _?.*% a s = o. -t- a*g& COROLLAIRE I. 1/3 S i 1 on veut chercher le rapport de la portion DC de la courbe BCD a fa tangente C/% 1 on imaginera une autre tangente </; infiniment proche de CP > & ayant de- crit du centre C le petit arc PO, 1 on aura cf CP ou Of - Cc = ^ pour la difference de CP = 2-=^?.. o r a d ou 1 on tire Cc Of -t- 1 ^-. Or a caufe des triangles rc- , 1 on aura PQ_(a). AP (x) : : Pp (ctx) .Op=~.& partant Cc=^~ = DCDc. II eft done manifefte qu en quelque endroit quel onprenne le point C, 1 on aura toujours DC T>c ^~^.CP cf (~-) :: 3 2. D ou il fuit que la fomme de routes les differences DC Drqui repondenta \n droite PD, c eft a dire* la portion DC de la courbe BCD, eft a la fomme +Art. 96. de toutes les differences CP cp qui re pondent a la meme droite ^D, c eftadire*a la tangente CP::j. 2. Etde me- +Art.<)6. mequelacourbeentie re^CDefta fa tangente BA:: 3. 2, C.O ROLLAIRE II. U4* o 1 1 on develope la courbe BCD en commencanc par le point O, on formeralaligne courbe D^VJFtelle que CN. CP :-. 3.2 . puifque CA^ eft tou jours egale a la portion DCdela courbe BCD. D ou il fuit que les fecleursfem- blables CNn, CPO font entr eux .-.- ^ . f . & partant que 1 ef- pace DCA^renferme par les courbes DC, DN, & par la droite CN qui eft tangente en C, &c perpendiculaire en S i3? ANALYSE JV, eft a 1 efpace DCF renferme par la courbe DC, & par les deux tangentes DP, CP, comme^. a 4. COROLLAIR.E III. IjJ. LE centre de pefanteurdu fecteur CNn doit etre fitue fur l arc/ > OjpuifqueC/ ) =fCJV. Etcommecet arc eft infinimenc petit, il s enfuit que ce centre doit etre fur la. droite AD ; &: partanc que le centre de pefanteur des ef- paces DCN, BDF , qui font compofe s de tons ces fe- cleurs , doit etre fur cetce droite AD : de forte que fi Ton decrivoit de 1 autre cote de B F une figure route pareille a EDF, le centre de pefanteur de la figure entiere feroic au point A. COROLLAIRE IV. U 6* A caufe des triangles rectangles femblables PQA, fPO, 1 on a.m&PQja), AQ_ on PM (^aa, xx) ::Pf (dx) . ^^EE^, Et a caufe des fe deurs femblables CPO, a CNn , 1 on au ra auffi CP. CN, ou 2 . 3 r.PO . Or le redangle MP x Pp, c eft a dire * le petit efpace circulaire MPfm = dxVaa xx. On aura &Q&cAB*Nn = \MPpM: d ouilfuic que la portion ND dela courbeDATetant multiplie e par le rayon AB , eft fefquialtere du fegment circulaire DMP, & que la courbe entiere DNF eft egale aux trois quarts de BMD qua- trieme partie de la circonference du cercle. PROPOSITION IV. Probleme, FIG. 116. I 57 S o IT donnee une courbe quelconque AM, qui ait four axe U droite AP; &foient cntendues une infinite deper- , mC cctte courbe. On demands la courbc DEslNFINIMBNT PETIT S. 7. Part. IJ9 qui a four tangentes toutes ces perpendtculaires : ou cc qui eft la memcchofe, ilfaut trouverjur chaqiie pcrptndiculaire MC le point toachant C. Ayarrt imagine une autre perpendiculaire mC infini- ment proche de MC, avec une appliquee MP, Ton me- nera parle point d mterfedion Clesdroites CK perpendi- culaire & CE parallele a 1 axe : ayanc enfuite nomme les donnces & variables AP, x iPM,y> lesinconnues&con- ftantes^K, ui KC, ^ 1 on aura PQ=^ , PK cm CE =u AT, JW=y -- ^Scles triangles rectangles femblables MPQ_ % MEC donneronc MP(y). PQ. (^ ) .-. ME (y-+ xj. C ( a x)=^^^-- qui eft une equation commu ne a routes les perpendiculaires telles que MC, &; done la difference ( en fuppofant dx conftante ) donne dx tdd-f + df + zdity j, \ i, dx -^dy* = L : d ou n tire ME ( \-*-y ) = u/y Orla nature dela courbe^A/ etantdonnee, 1 onaurades valeurs de dy &i ddy en dx 1 , lefquelles etant Tubftituees dans ^^^,donneront poor Af^uncvaleuremieremenc connue&delivree des differences. Ce qui etoic propofe. II eft evident cjue la courbe quipaffepar tous les points C, eft la developee de la courbe AM > &i comme Ton en a traite expres dans la Section cinquieme , il feroit inutile d en donner ici des exemples nouveaux. PROPOSITION V, Problemc. J 5* L) EUX lignes quclconques AM, BN etant donnees FIG. avec une ligne droite M N qui dcmeufe toujours la memo > en fuppofe que les extremites M , N de cette Iigne glifjent conti- nueilement le long des deux autre s , & I on demands la courbe quelle tottche toujours dans ce mouvement. Ayant mene les tangentes MT, NT, & imagine une au- Sij 140 ANALYSE tre droitc mn infiniment proclie de MN, & qui la coupe par consequent au point C ou elle touche la courbe dont ils agic de determiner les points. 11 eftclnir que la droite M~N , pour parveniren mn, a partouru par fes extremite s les petites portions Mm, Nn deshgnes^Af,Z?7^., lefquellcs font communes a caule de leur mfinie petitelTe, aux tan- gentesTA/, TN : de lorte que Ton peuc concevoir que la ligne MN pour parvenir dans la fituation infiniment pro- che mn , ait gliile le long des droites TM, TN donnees do pofition. Cela bien entendu , foient menees fur NT les perpen- diculaires MP, CK ; foient nominees les donnees & va riables TP, xiPM,y> les inconnuesSc conftantesJ"/\:, j KC, ^.j&la donne e A/A^qui demeure par tout ia mcme, rf.Le triangle redangle Af/ JVdonnera/ JV = Vaa yy- y & a caufe des triangles femblables7v r / > Af ; , NKC, Ton au ra NP ( Vaa yy ) . PM (/).: NK ( u x ^aayy}-. KCfs.} 7 y. dont la difference donne aaudy * > y yy / aaxdy aaydx -t-y-dx = ^z^^y yydyVaa yy : d ou en faifant V7ayy ~ m pour abreger, 1 on tire PK (a AT) leur X^K , a caufe des triangles femblables mRMi MPT-., &partant MC=?~^ : ce qui donne cette conftru- flion. Soic menee TE perpendiculaire fur MN, & foit priie JV/C = NE : }e dis que le point C fera celui qu on cher- che. Car a caufe des triangles redangles femblables MNP,TNE, Ton aura JV/2V (a].NP(m) :;NT(m+x], .. OU Autremaniere. Ayant meneTi perpendiculaire fur MN, & de crit du centre C les petits arcs MS, NO, on nommera les donnees NE,n ET,s; MN, a ; Sd inconnue CM , t. On aura Sm ouOnz=df- } & les triangles rectangles fern- DES INFINIMENT PETIT s. I. Part. 141 blables MET&. mSM,N ET& nON, CMS & CNO donne- (r). - Et MS ( r ^i) : MK(a) . MC (f) = r. Ce qui donne la meme conftruclion que ci-deflus. Si Ton fuppofe queles lignes^JVf, ^^Vfoient des droi tes qui faflenr entr elles un angle droit ; il eft vifible que la courbe cherchee eft la meme que celle de 1 article ip. PROPOSITION VI. Probleme. IJ9- ooiENT donnees trots lignes qtielconques L , M, N ; FIG. (^- foient enieriflues de chacun des points L , 1 de la h gnc L deux tangcntcs LM d LNj 1m ^-In, aux deux courbes M C^ 1 N , af ^ chacune. On demands la quatrieme coitrbc C, ^r ait four tangentes toutes les droites MN , mn atti jti^nent les faints toucbans des courbes M , N . Ayant tire la tangente Z, & mene par un de fes points quelconque E lesperpendiculaires F, EG fur les deux au- trestangentesA/ZjT^Zj on concevra que le point /foitin- finimencpres du pointZ j on tirera les petites droites Z//, Z/Cperpendiculaires fur ml, nl> comme auffi les perpen- diculaires MP, mP, Ng^, nQ^fur les tangentes AfZ, ml, JVz, /, lefquelles perpendiculaires [s entrecoupent aux points P&cjg^Tout cela formera les triangles rectangles femblables EFL & LHl, EGL & LKl; comme auffi les triangles LMH& MPm, LnK 6c NQn re ftangles en H&C m, KkN, qui feront femblables entr eux , puifque les an gles ZAf/f, MPm etant joints 1 tin ou 1 autre au meme angle PMm, font un droit, On prouvera de meme , que les angles Zw/C, Nn font egaux entr eux. Celapofe, on nomrnera le petit cote Mm du poly gone qui compo/e la courbe M,du 5 6c les donnees EF, m-, EG % ; MN oumn, a-, ML ou ml^b^ NL OH nl,c-, MP cu S iij ANALYSE ,; TV^ou n^, g (je prens ui les droites MP, pour donnees, parceque la nature descourbes A/,// eranc donnee par la fuppofinon , on les pourra toujours trou- ver ),&d onaura, i, MP(f). ML (b}::Mm(du} LH 4. ( menant MR parallele a NL ou /) ml(b) . In (c) * f i 1 \ -n f -n cdu n i i -n -IT ,cdu bvndtt- \ :: mM(du). MR=-g-. 5. MR + Nn f- b H--*, y. .... MN (a) . MC _L_. Cequ il fal- loit rrouver. Si la rangente Z tomboic fur la tangente ML , il eft clair que EF (m) deviendroic nulle ou zeroj & parcane que le point cherche C tomberoit fur le pome M. De meme fi la tangente EL fe confondoit avec la tangente ZAf; alor> EG (n) deviendroit nulle, & Ton auroit par confequent A iC=.i .-d oiil on voicque le point cherche C tomberoit auffi lur le point 2V. Et enfin fi la tangente EL tomboit dans Tangle GL1 > en ce cai EG (n) deviendroic negative : ce qui donneroit alors MC c / c _^^ ^ ; Sc le point cherche C ne tomberoic plus entre les points M Sc JV, mais de part ou d autre. EXEMPLE I- FIG. 119. 160. S u P P o s o N s que les courbes M Sc TV ne faiTent qu un cercle. Il eft clair en ce cas que ^ = f, &/=g; ce qui donne MC= -%- , d ou Ton voit qu il ne fauc ^ fn ^ n alors que couperladroite AfTVen rai-fon donnee dew as pour avoir le point cherche C ; c eft a dire en forte que MC , NC :: m . n. ExiMPLE II. 161. S v P P o s o N s que les courbes M.&N foient une DES INFINIMENT PET ITS. I. Part. 143 Section conique quelconque. La conftru&ion generate fe peut changer en cette atitre qui eft beaucoup plus fim- ple, fi Yon fait attention a uns propriete des Se&ions coni- ques, quel on trouve demontree dans les Livres qui en traitent: fcjavoir que fi 1 on menedechacundes points Z, / d une ligne droite EL deux tangentes LM&.LN, Im c / a une Sedion conique 5 toutes les droites MN, mn qui joi- gnent les points touchans/e couperont dans le meme point C, parlequel pafle le diametre ^C, dont les ordonnties font paralleles a la droite EL. Car il fuit de la, que pour avoir le point C, il ne faut que mener un diametre qui ait fes ordonnees paralleles a la tangente EL. II eft evident que dans le cercJe, le diametre doit etre perpendiculaire fur la tangente EL ; c eft a dire qu en me- nant de Ton centre A une perpendiculaire AB fur cette tangente, elle coupera la droite MN au point cher- che C. R E M A R Q_U E. loi. Q_)N peut par le moyen de ce Probleme re foudre FIG. cekii ci qui depend de la Me thode des Tangentes. Les trois courbes C, Af, W, etant donnees, on fera rou- ler une ligne droite MN autour de la courbe C, en forte qu ellela touchecontinuellement; on tirera par les points M , AA, ou elle coupe les courbes M c A^,les tangente^. A/Z, NL qui s entrecoupent en un point Z, lequel dccrit dans ce mouvementune quatrie me courbe Z/. II s agitde tirer la tangente LE de cette courbe, la pofition des droites M N, ML, NL etant donne e avec le point toucbant C. Car il eft vifibleque ce Probleme n eftque 1 inverfe du prece dent,& qu ici AfCeft donne e : ce qu on cherche, c eft laraifondei^ 1 , G, qui determine la pofition de la tan gente EL. C eft pourquoi fi Ton nomme la donnee A/C, h > 1 on aura . " . = b: d ou 1 on tire m = - ^ accf ccfh } & parconfe quent la tangente LE doit etre tellement fi- tuee dans Tangle donne MLG, que fi. Ton mene d un de 144 ANALYSE fes points quelconque lesperpendiculaires EF, EG fur les cotes de cet angle ,elles foient toujours entr elles en raifon donne e de high a accf ccfb. Or cela fe fait en menant MD parallele a NL , & egale a -~ c ^ ccfh . FIG. 119. II eft evident * que files deux courbes M & JVnefonc * An. i<Ji. qu une Section conique, il ne faudra que tirer !a tangente LE parallele aux ordonnces du diametre qui pafle par le point C. SECTION DES INFINIMENT PETIT s. /. Part. 145 SECTION IX. Solution de queues Problems* C^HI dependent dcs Methods pncedentes. PROPOSITION I. Probleme. ^ o i T itne ligne coar&e AMD ( AP = x , PM = y , ?io. 150. A B a ) telle que La -valour de I appliquee y foit cxprimee far une fraction , dont le numcrateur & le denominateur de viennent chacun zero lorfyue x = a, c eft a, dire lorfyue le faint P tomb e fur le point donne B. On demands quells doit etre nlon la -valeur de I appliquee BD. Soienc entendues deux lignes courbes 4NB, COB, qui ayenc pour axe commun la ligne AB , &: qui foienc telles que 1 appliquee PN exprime le nume rateur, & 1 appli- quee PQ le denominateur de lafradion gene rale qui con- vienca routes les PM: de forte que/ Af^ ^ S ^J N -. Heft clair que ces deux courbes fe rencontreront au point B } puifquepariafuppofition PN&. PO deviennent chacune zero lorfque le point P tombe en B. Cela pofe , fi Ton imagine une appliquee bd infiniment proche de BD , &C qui rencontre les lignes courbes ANB, COB aux points f t g 5 Ion aura bd = A -* b f, laquelle * ne differepas de BD. *Art. i. II n ed: done queftion que de trouver le rapport de 6g a If. Or il eft vifible que la coupee^/ devenant AB-, les applique es / //, PO deviennent nulles, & opzAP deve nant Ab, elles deviennent tf, Ig D ou il fuitque ces ap- phquees, elles memes^/, ^g. font la difference des appli- quees en 5 & ^ par rapport aux courbes ANB , COB 5 & partantque (i Ton pren -\ la difference du nume rareur, &; qu on la divile par la diffcieuce du denominateur, apres T 146 ANALYSE avoir fait x = a =4l> ou. ^.,ronauralavaleurcherchee de 1 appliquee^ou^D. Cequ il falioic crouver. EXEMPLE I. 164. Soiry^ 1 ^^ - Ucftclairquelorf- c\uexa, lenumerateur &: le de nominareur de la fra ction deviennent egaux chacun a zero. C eft pourquoi 1, . * , . n, , a l ilx ix*dx a.adx j on prendra la difference "^^r^T" ^i; du nume - rateur, 6c on la divifera par la difference --,,7? du de- nominateur , apres avoir fait x = a , c eft a dire qu on di vifera adx par dx ; ce qui donne ^-a pour la va- leur cherchee de D. EXEMPLE II. On trouve^ =2a y lorfquc x = a. On pourroic refoudre cet exemple fans avoir be/bin du calcul des differences, en cette forte. Ayantoceles incommenfurables, on aura aaxx ~*-2tfaxy axyy 2s?x -t- a* -*- aayy 2ay=o t qui etant divife par A; a, fe reduita^* a 1 -\-2aay ayy oJ & fub- ftituant a pour x, il vient comme auparavant^/ = 20. L E M M E. FIG. 131. loo. j OIT une ligne cottrbe quelconque BCG, avec tine ligne droite AE qui la toitche au point B, & fur laquelle foient marques a difcretion deux points fixes A , E. Si ton fait roulcr cette droite ttutour de la courhe , en forte qu elle Id touche continue/lenient ; il eft clair que les point fixes A , E decriront dans ce mou-uement deux courbes AMD , ENH. Si fan mem a prefent D L parallele a A B., (^ qui faffe par confe- quetitavecDK.(fur/-?iye//ejefuppoJe la droite AE lorfyuelle DES INFINIMENT PETIT s. 7. p,trt. 147 toucJoe la courbe BCG en G ) I angle KDL egal a tangle AOD fait put lei tongentcs en B , G ; e^ que I on decnve comme on voudra , dtt centre D tare KFL : Je dis queDK. KFL :: AE. AMD ENH. ftavoir -+ lorfyite le faint touchant tombe toujours enire lei points dciri- vam , /* lorfy u il lei laijje toujoun du meme cote. Car fuppofant que la droite AE en roulant autour de la courbe BCG foic parvenue dans les pofiuons MCN , wC infiniment proches 1 nne de 1 autre , & menanc les rayons DF, Z)/paralle!es a CAT, Cm .- il eft clair que les fe- deurs DFf, CMm, CNn feront femblables j 8c qu ainfi DF. JF/.v CJU . A/J :: C^V. Nn :: CM + C2Vou AE. MmNn. Or comme cela arrivera toujours en quelqu endroit que fe trouve le point touchant C, il s enfuit que le rayon DK eft a 1 arc KFL fomme de tous les petits arcs Ff:: AE , AMD rt yV//fommede tous les petits arcs Mm+L Nn. Cequ il falloit demoncrer. COROLLAIRE I. 1 ^7- I L e ft vifible que les courbes AMD , ENH font formees par le developement de la meme courbe 2?CG> & qu ainfi la droite AE eft toujours perpendiculaire fur ces deux courbes dans routes les portions ou elle fe ren contre: de forte que leur diftance eft par rout la meme ; cequieft lapropriete des lignes paralleles. D ou Ton voit qu une ligne courbe AMD e tant donne e,on peut trouver une infinite de points de la courbe ENH fans avoir be- foin de fa de velopee^?CG, en menantautant deperpen- diculaires que Ton voudra a cette courbe , Sclesprenanc toutes e gales a la droite AE. COROLLAIRE II. 160. 3 i la courbe BCG a fes deux moities 2?C\ CG en- tieremenc femblables & egales, &; que Ton prenne les droites BA, GH egales entr elles ; ileft clairque les cour bes AMD, ENH feront femblables & egales, en forte 148 ANALYSE qu ellcs ne differeront que par leur pofition. D ou il fait que la courbe AMD fcra a 1 arc de cercle KF L .-. \ AE. DK. c eft a dire en raifon donne e. PROPOSITION II. Probleme. FIG. !ji. 1(39. 5 o i EN T deux courses qucltonqucs AEV, BCG , avec une troijieme AMD telle quay ant decrit far le develo- x pement de la. courbe BCG une -portion de courbeEM , la rela tion des portions de courbe s AE , EM , ( des rayons de la de velo fee EC, MG fait exprimie far une equation quelconqae donncc. On propojc de mener d un point donne M far la courts AMD la tangent e MT. Ayanc imagine une aucre portion de courbe em infini- ment proche de EM, & les rayons de la developeeCV-F, CmR ; Soic, i. CH perpendiculaire fur CE, c qui rencon tre en H. la tangente Wdela courbe AEV. i.ML pa. rallele a C, & qui renconcre en L 1 arc QL decrit du cen tre JW&du rayon MG. 3. GT perpendiculaire fur MG^ & qui rencontre enT^la tangente cherchee MT. Onnommeraenfuitelesdonnees^, xj ,a.rcGZ,, r: o Fc ou Rm d% = dzj Seles triangles rectangles fembla- bles eFE, .ECf/donneront CE (it). CH (s):: Fe(d^). FE = --. EtCE (u) . EH (t) .: Fe (dz.) . Ee (dx) = ~ Aft. 166. Or parle Lemme*RF-me r -~ > & p*tt*ntX.M(&f-me -t- me ME -+-ME ME ) = ~-l- fy-*- - Done i caufe des triangles rectangles kmb\a.blesmRM,MGT,l on aura mR (di) . RM (~ f~r^ <fy ) - MG ( O . GT = r . 5 j^^i. Mais fi Ton met dans la difference de 1 e- </* quation donnee a la place de du & dx leurs valeurs <^.& , Ton trouvera une valeur de dy en d^ laquelle etanc INFINIMENT PET ITS. /. Part. 149 fubftitueedans^-, il viendra pour la foatangente cher- chee GT une valeur entierement connue &: dclivree des differences. Ce qui etoit propofe. Si 1 on fuppofe que la courbe JBCG fe reunite en un FIG. 135. point O> il eft vifible que la portion de courbe ME (y ) fe change en un arc de cercle egal a 1 arc CL (r) , Sc que les rayons CE (a ), GM (\] de la develope e de- viennent e gaux entr eux: de forte que GT, qui devienten ce cas OT, fe trouvera =y -*- -f -*- ^f E x E M P L E. 170. S o i T y = ^ , les differences donneront dy FIG. 15;. = - ( on prend * xdz^ au Keu de -+- xdz, > *An, S. parceque x & y croiflant, s(_ diminue ) = ^ ~ A *" , en mettant pour dx fa. valeur ; & partant OT (y + s *-%)=)> + s + t= ^=-*^> en memnc P lir T fa. valeur y. R E M A R. QJJ E. 1 7 1 Si le point Otombe furl axe^^ 3 &que la courbe s?f^foit un demi-cercle; la courbe AMD fera une demi- roulette, formee par la revolutiond un demi-cercle BSN autour d un arc egal ^GJVd un cercle decric du centre O, &dontle point gene rateur^tomberadehorSj dedans, on fijria circonference du demi-cercle mobile BSN , felon queladonne e^fera plusgrande, moindre, ouegaleaO^. Pour le prouver, & determiner en meme tempsle point B. Je fuppofe ce qui eft en queftion, f^avoir que la cour be AMD eft une demi-roulette, formee par la revolu tion du demi. cercle JBSN, qui a pour centre le point K. centre du demi cercle AEV, autour de 1 arc j?G-?Vde cnc du centre 0\ 8c concevant que ce demi-cercle S 2V s arre- ^e dans la flcuation EGN telleque le point decrivant^4 Tiij 150 ANALYSE tombe fur le point A/, je mene par les centres des cercles ge nerateurs la droite OK. qui paffe par consequent par le point touchantG;& tirant K& E, j obferve que les trian gles OKE, OK.M font egaux & femblables 3 puilque leurs trois cotes font egaux chacun a chacun. D ou il fuit 1. Qiie les angles extremes MOK, EOK font egaux ; &c qu ainfiles angles MOE, GOB le font aufti : ce qui don- ne GB. ME .-: OB. OE. 1. Que les angles MK. 0, EKO font encore egaux ; &qu ainfi les arcs GJV, J3S , qui les mefu- rent, lefontauffiilameme chofefe doit dire de leurs com- plemensG^?, S2f, a deux droits ; puifqu ils appartiennent a des cercles egaux. Or par la generation de la roulette. Tare GB du cercle mobile eft e gal a Tare GB de 1 immo- bile. J aurai done SN. ME .-. ^OB OE. Cela pofe, Je nomine les donne es 0V, b ; KF~ ou KA , c ; & 1 in- connue KB , u. J ai OB b-r-c u ; Seles fetteurs fem- blables KEA, KSN me donnent KE (c) . KS (} :: AE (x). SN= ~. Etpartant OB (b+c u) . OE ( zj : : SN (^) . EM(y) - I7 ^^ 77l = x ^ . D ou je tire KB (u) = -^ ^.11 eft done evident que fi Ton prend KB = ^-pr,&qu on de crivedes centres /C&Ole demi- cercle ^5A^"cl arc BGN > la courbe^MD (era. une de- mi-roulette decrite par la revolution du demi- cercle ^^A^autour del arc BG2^ t &dontle point de crivant A tombe dehors, dedans, ou furla circonferencedece cer cle, felon que KF~ (c)eh plus grand , moindre, ou e gal a KB (~ ^")i c eft a dire felon que a eft plus grand , moin dre, ou e gal a 0V (b). COROLLAIRE I. 171- IL eft clair que EM (y) . AE (x] :: KxOE(ug.). OB*KJs (l,c-+-cc uc}. Orfi 1 onfuppofe queO^devien- ne infinie ; la droite OE le fera aulli , & deviendra pa rallel; a OB , puifqu elle ne la rencontrera jamaia } les E s INFINIMENT PETIT s. 7. Part. 1 51 arcs concentriques7JG2V, EM deviendront des droites pa- rallelesentr elies, &perpendiculaires furO.Z?,O: Scalors la droice EM /era a 1 arc ./4.E .-.- K7? . KV. parceque les droi tes mfiniesOj B ne differant encr elles que d une gran deur finie, doivenc Sere regardees comme egales. COROLLAIRE II. *73 L/Eceque les angles yWCO,-Ej?C0fontegaiix, il fuit que les triangles MKG, EKB feront e gaux &i femblables ; &qu ainfi les droites MG> 7? font egales entr elles. D ou 1 on voit* que pour menerd un point donne M fur la rou- * An. 45. lerce, la perpendiculaire MG, il n y a qu a decrire du cen tre Ol arcyV/, &du centre A/"del intervalie7Junarc de cercle qui coupera la bafe BGN en un point G , par ou & par le point donne jV/l on tirera la perpendiculaire requife. COB.OLLAIR.E III. I 74- UN point Ge tant donne fur la circonfe rence du demi-cercle mobile BGNih. 1 on veut trouver le point M de la roulette furlequel tombele point decrivant^ lorf- quele point donne Gtouche la bafe, il ne faut que pren- drerarc.S2Vegalararc7iG, &ayant tire le rayon /CSqui rencontre en E la circonference AEV, decrire du centre O 1 arc EM. Car il eft evident que cet arc coupera la roulette au point cherche M. PROPOSITION III. Problcme. 175* JO IT unectemi.rouletteA.M. Ddecriteparla revolu- FIG. 155,136. tion dv, demi-cetcle BGN autourd un arc e^al BGN d un au- trc cercle , en forte qne les -parties revalues BG , BG foicnt toujours exiles entr elles j foit le point decrivant M prisfur le diametre BN debars^ dedans , ou fur la circonference mobile BGN. On demands le point M de la plus grande largear de la demi- roulette far raff art a. fan axe OA. Suppofant que le point M foit celui qu on cherche , il 151 ANALYSE 47. eft clair * que la tangente en Mdoit etre parallele a 1 axe <9 T , & qu ainfi la perpendiculaire Af G a la roulette, doit cere an ili perpenditulaire fur 1 axe qu elle rencontre au point P . Ceia pole , fi Ton mene OK par les centres des cercles ^eneraceurs, elle padera parlepoint touchantGj & fi Ton tire A.Z perpendiculaire iur MG , on formera les angles cgaux GA. L, GOB- & partant 1 arc /G qui eft le dou ble dela mefure de 1 angle GK-L-, fera a 1 arc GJ mefure de Tangle GO,comme ledjametre.Z?A r eftau rayon OB, D ouil hmque pour determiner furle demi.cercle BGN le point G , ou il touche 1 arc qui lui fert de bafe lorlquc ]e point decrivanc M torn be iur celui de la plus grande largeur ; il faut couper le demi-cercle BGN en un point G, en forte qu ayant tire par le point donne M la corde /G, 1 arc /G loital arc^G en raifon donneede/?.-Va OB. La queftion fe reduit done a un Probleme de la geome tric commune qui fe pent toujours refoudre geometri- quement lor/que la raifon donne e eft de nombre a nom- bre ; mais avec le (ecuurs des lignes dont 1 equation eft plus ou mains elevee, felon que la raifon eft plus ou moms compofee. Si 1 on fuppofe que le rayon OB devienneinfini, com- me il arrive lorfque la bale Z^G.Vdevient une ligne droi- te ; il s enfuit que 1 arc JG (era infiniment petit par rap port a 1 arc GB- D ou Ton voit que la fe cante M1G de- vient alors la tangente MT, lorfque le point decnvant M tombe au deliors du cercle mobile j & qu il ne peut y avoir de point de plus grande largeur lorfqu il tombe au dedans Lorfque le point AT tombe fur la circonfe rence en 2tf, il ne faut que divifer la demi circonference BGN en raifon donnee de B N a OB au point G. Car le point G ainfi trouve, (era celui ou le cercle mobile BGN tou che la bafe , lorfque le point decrivanc tombe fur le point cherche. L M M DES INFINIMENT PE!ITS. I. Part. 153 L E M M E II. 176. r N /<?; triangle BAG, <&* /<?/ angles KRC, ACB, FlG - r 5 ^ CAD complement a deux droits de I angle obtns BAC 3 font infiniment petit s ; jc Ais que ces angles ont meme raff art entreux que Ics cotes AC, AB, BC, aufquels ils font oppofez^. Car fi 1 on circonfcrit tin cercle au tour du triangle .S^C, les arcs AC, .AB, BAC , qui mefurent les doubles de ces angles, feront infiniment petits, &c nedifFereront* point *An. >>. par confe quent de leurs cordes ou foutendantes. Si les cotes AC, AB, BC du triangle SAC, ne font pas infiniment petits, mais qu ils ayent une grandeur finienl s enfuit que le cercle circonfcrit doit etre infiniment grand ; puifque les zrcsAC,AB, BAC, qui ont une gran, deur finie , doi vent et re infiniment petits par rapport a ce cercle, etant les mefures d angles infiniment petits. PROPOSITION IV. Problem?. ^77 JL/ E s memes chafes etant posees > ilfaut determiner fur FIG. \ cbaque perpendiculaire MG, le faint C ou cSc toucbe la de- J 6 - velopee de la roulette. Ayant imagine une autre perpendiculaire mg infini ment proche de MG, &c qui la coupe par confe quent au point cherche C, on tirera IadroiteG5 & ayant pris fur la circonfe rence du cercle mobile le petit arc Gg e gal a Tare Ggde 1 ittt mobile, on menera lesdroites Mg, lg,Kg^ Og. Cela pofe,fil on regarde les petits arcsGg, Ggcomme de pecites droitesperpendiculaires fur les rayons Kg,0g, il eft clair que le petit arc Gg du cercle mobile rombant fur I arcGgde [ immobile, le point de crivant jl/tombera fur m, en forte que le triangle GMg fe confondra avec le triangle Gmg. D ou Ton voit que Tangle MGm eft egal a l anglegGg=GKg--GOg5 puifqu ajoutant depart & d au- tre les memes angles K.Gg,OGs$ofi en compofe deux droits. Or nornmanclesdonneesOG,5.KG,rf;GAfou Gw, mj V 154 ANALYSE * Art. 176. GI ou fg , n > Ton trouve , i, * OG . KG : - GKg . GOg. Et OG (b) .OG+GK ou OK (b + a) : : GKg . GKg -+- GOg * Ibid. ou MG (mj.lg (n) :: GMg Mgl ou GJg ou -GKg . ou Gmg = ~ GKg. 3. * L angle MCm ou MGm Gmg . Gmg (~GKgJ:: Gm (m).GC ^T- Et P ar confequent le rayon chercheAf C i , i , i /- latnm -f- ibmm de la developee fera = ,, .^ ltg> _ * Si Ton fuppofe que le rayon OG (b) du cercle immo bile devienne infini, fa circonference deviendra une li- gne droite j & en effi^ant les cermes zamm, zam, parce- qu ils font nuls par rapport aux autres zbmm , zbm bn , t, _ ._. imm Ton aura MC = im _ n - C O R_O L L A I R E I. 178. 13 E ce que Tangle MGm = ^~j~ GKg, & de cc que les arcs de differens cercles font entr eux en raifon compofee des rayons Sc des angles qu ils mefurent - } ilfuit que Gg . Mm : : KG x GKg . MG x ~ GKg. Et par con fequent auffi que ^CG x Mm = i-^- MG x Gg; ou (ce qu. eft la memechofe)queXGxAfOT.j i l/GxGg:: OK(a+l>}. OG (b) . qui eft une raifon conftante. D ou Ton voit que la dimenfion de la portion.^ A/ de la demi roulette^A/Z>, depend de la fomme des MG x Gg dans 1 arc GB i & c eft ce que M. Pafcalz. demontre a 1 e gard des roulettes qui on: pour bafes deslignes droites. M. Variation eft tombc dans cette memeproprie tepar une voye tres difFerente de celle-ci. COROLLAIRE II. FIG. 155. 179- L ORSQJJE le point decrivant M tombe ho rs de DES INFINIMENT PETIT s. 1. Part. 155 lacirconference du cercle mobile, il arrive neceiTairemenc Tun des trois cas fuivans. Car vnenant la tangente MT, le point touchant G tombera i. Sur 1 arc T B , comme Ton a fuppofe dans la figure en faifanc le calcul; & alors MC Cr^l; furpalTeratoujours^G (). . Sur le poinc touchant r>8c Ton aura pour lors MC(~^^s) m, puifque/G() s evanouit. 3. Sur 1 arc TN> & alors la valeurde GI (ri) devenant negative de poficive qu elle ecoic, 1 on aura MC =J^^: de forte que MC fera moindreque MG(m), &c toujours pofitif. D ou il eft evident que dans tous ces cas , la valeur du rayon MC de la de velopee eft toujours pofitive. COROLLAIRE III. lao. LORSQJJE Je point decrivanc M tombe au de- FIG. dans de la circonfe rence du cercle mobile , on a toujours arriver que In furpafle sam+- 2bm,& qu ainfi !a valeur du rayon MCde la de- velopee foit negative.- d ou 1 on voit que Jor/qu ellecefle d etre pofitive- pour devenir negative, comme il arrive *lorfque le point JWdevient un point d infle xion , il font "Art. St. necefTairement alors que bn zam+zbrn) &i partant que MI *MG (mn mm)^^^^ . Or fi 1 on nommela donnee^CAf, c; Ton auraparla proprietedu cercle Af/x -a fr ^ fi-amm -4- bmm \ -r.-.^-,^iv/ \ *t i,- MG\ -- 1 - }MxMN(<:ia cc] ce qui donnel in- connue MG (m) = ^^[^ b Donc fi 1>on de crit du point donne M comme centre, & de 1 intervalle MG = V-*"^~^ un cercle ; il coupera le cercle mobile en an point G, ou il touchera le cercle immobile qui lui fere de ba(e,lorfquele point decrivanc A/combera fur le point d inflexion f, Vij 156 ANALYSE Sil onmene MR perpendiculairefur.Z?JV; il eftclairque cette MG(V~"- ~^r) ^ era m i n dre que MR ( Vaaic), Sc qu elle lui doit etre egale lorfi.]ue b devient infinie, c eft a dire lorfque la bafe de la roulette devient tine ligne droite. Il eft a remarquer, qu afin qnele cercle decrit du rayon MG coupe le cercle mobile, il fautque MG lurpzfa MN~, c eft a dire que V- b ~~^" furpafle a c j &: qu ainfi KM (c) furpafle j^-j . D ou il eft manifefte qu afin qu il y ait un point d inflexion dans la roulette AMD, il faut que KM bit moindre que K 2V, c plus grande que ~,. LEMME III. FIG. 138. 181. o IE NTdeux triangles ABb,CDdqui ayent ck^cun un de leurs cotes Bb, Dd infiniment petit par rapport aux autres : je dis que le triangle ABb eft an triau<ile CDd en ration com fo fee de tangle BAb a / angle DCd, & du quarre du cote A 13 on Ab au quarre du cbte CD ou Cd. Car fi Ton decrit des centres^, C, Sc.des intervalles *An. i. AB, CD, les arcs de cercles BE, DF i il eft clair * que les triangles ABb, CDd ne differeront point des fedeurs de cercles ABE , CDF. Done, &c. Si les cotes AB , CD font egaux, les triangles ABb , CDd feront entr eux comme leurs angles BAb, DCd. PROPOSITION V, Probleme. FIG. 135. IoZ. LES memes chafes etant toujottrs fofees j on demande la quadrature de I efface M G B A, rcnferme par les perpendicu- laires M G, B A a, la roulette, -far I arc G R,&par la portion A M de la demi- roulette A M D ,en fuffofant la quadrature du cercle, \ eft a 1 angle MQm ("- ~ DES INFINIMENT P E r i T s. 1. Panie. 157 com me *le petit trungle AfGgqui a pour bafe Tare Gg du cercle mobile , an petit triangle ou fe cteur GMm ; & par- tant le fecteur GMm = ~ MGg x ^7 = "|" MI,p, & mettantpour w fa valeur p -t- n. Or*ie petit triangle ou fecteur KGg *An. iSt. eft an petit triangle AfGg en raifon compofee du quarre de KG au quarre de JV/G, Sc de Tangle GKg a 1 angle GMg ; c eft a dire :: aa tant le petit triangle jVfGg = ^|- A Gg. Mettantdonc cet- te valenr a la place du triangle MGg dans " ? "^ 1 ^ AfGg , Ton aura le fefteur GMm =iirtii A/Gg -+- ^^^ ? - KGg. Maisacaufedu cerclejGA/x MI ( fn ) =BM x MJV (cc aa ), qui eft tine quantite conftante, &qui deineu- re toujoursla meme en quelqu endroit que fe trouve le point dccrivant Mi & par confequent GMm n- MGg ou mGg , c eft a dire le pent efpace de la roulette GMmg - -"*"^^~^ XGg. Done puifque GMmg eft la difference de Pefpace de la roulette MGB^-, & MGg cellederefpacecirctilaire AfG5, renferme par lesdroites MG, A<f , &. par 1 arc GB, & que de plus le petit fedeur /CG g eft la difference du fecteur/CG.55 ils enfuit*que 1 eipacede *An. la roulette MGBA=.^r-MGB -t- +*"-" KGB- O AAO Cequ il falloit trouver. Lorfque le point decrivant M tombe hors la circonfe- FIG. 159. rence 2?G-A^"du cercle mobile, & que le point touchant G tombe fur Pare ^ATTnl eft vifible*que les perpendiculaires *Art. 180. MG, mg s entreccupent en un point C , 6c qu on a pour lors m=p n. D ou il fuit que le petit fecteur GMm , , ^ MGg ^ /CGg, en mettanc comme auparavant pour le Viij 158 ANALYSE petit triangle MGg fa valeur ~ KGg ; & partant que G Mm, Jg ou mGg , c eft a dire M Cm GCg= + a " t ~ KGg, en mettant pour/w fa valeur ^ . Or fuppofantqueT*// foit la pofition de la tangenre TM du cercle mobile, lorfque fon point T touche la bafe au point T;i\ eft clair que MCmGCg=MGTH mgTPf, c eft a dire la difference de 1 efpace AfGT"//, & que MGg eft * pace MGTH = i^=^ MGT H- . Mais, corame Ton vient de prouver, 1 efpace HTBA artant on aura tou- jours & dans tous les cas 1 efpace MGB^(MG MGT ou MGB - KGT +- K.TB ou KGB. FIG. 13;. Done 1 efpace entier DNBA renferme par les deux perpendiculaires a la roulette J)N, BA, par 1 arc de cercle BG N, & par la demi roulette AMD , eft = l ^-^~^=^^ KNGB; puifque lefedeur KGB & 1 efpace circulaire MGB deviennent chacun le demi- cercle KNGB , lorique le point touchant G tombe au point 2V. FIG. i3<?. Lorfquele point dfcrivant^/tombe au dedans du cercle mobile^ ilfautmettre^^ cc a la place deer aa dans les formules precedentes; parcequ alors^Afx^JV^rf^ C c. Si Ton fait c =a, Ton aura la quadrature des roulettes qui ont leur point decrivant fur la circonference du cer cle mobile ; 6c fil on fuppofe b infinie , 1 on aura la qua drature de celles qui ont pour bafes des lignes droir.es. AUTRE SOLUTION. Fie. 140. 183. (_) N decrit du rayon OD 1 arc D^, &des diamc- i-cercles Ar, BES INFINIMENT PET ITS. /. Part. 159 a difcre tion du centre 1 arc EM renfermeentreledemi- cercle^/^&lademi-roulette^AfD,) on mene 1 appli- que e EP. II s agit de trouver la quadrature de 1 efpace AEM compris encre les arcs AE, EM y & la portion AM de la demi roulette AMD. Pour cela, foit un autre arc em concentriqne & infini- ment prochede EM t une autre appliquee <?/>, une autre Oe qui rencontre 1 arc ME prolonge ( s il eft necefTaire ) au point/ 1 . Soient nomme es les variables Oe, zj VP> > 1 arc AE>x; & commeauparavantlesconftantesO/s 1 ,^ : 1 on TE~=2CU * , 1 arc .E.M * = 7 > &: par- * Art. 171. tant le reclangle fait de l arcAf par la petite droite Fc t c eft a dire * le petit efpace EMme = ^^. Or a caufe *An. i. du triangle rectangle OPE > z&j= ^^ -*- 2ab -t- bb 2ac zbc -+- cc -i- 2au -t- 2bu, dont la difFerence donne %d^ = adu -*-bdu. Mettant done cette valeura la place de zds^ j axz.dz i i r -r> * f Aitxdii + abxdtt, dans ^, 1 on aura le petit efpace EMme= . Maintenant fi 1 on decrit la dtmi-roulette AHT par la revolution du demi-cercle^f/^fur la droite VT perpen- diculaire a VA, &C qu on prolonge les appliquees PE,fe jufqu a ce qu elles la rencontrent aux points H , b : \\ eftclair *que EHxPf, c eft a dire le petit efpace EHhe +Art. 171. = xdu ; 8C qu ainfi EMme(" txdtt ^- t " llt ) . EHhe (xdu] :: a* -t- ab.bc. qui eft une raifon conftante. Or puifque cela arrive toujours en quelqu endroit que fe trou ve 1 arc EM, il s enfuit que la fomme de tous les petits eCpacesEMme, c eft a dire l efpace^Af ,eft a la fomme de tous les pe tits efpaces EHhe , c eft a dire a 1 efpace A EH:: aa *- ab. be. Mais 1 on a * la quadrature de 1 efpace si EH depen- *Art. 99. dammentde celle du cercle 5 &c partant auffi celle de 1 e^ pace cherche AEM. Ceci fepeut aufli de montrer fans aucun calcul , comme j ai fait voir dans les Ades de Leypfic au mois d Aouft de 1 anne e 160 ANALYSE On peut encore trouver la quadrature de 1 efpace ^T fans avoir recoursal arr. 99. Car fi Ton acheveles re dan- . . gles PQ.pq, Ton aura ></ ou HR.PpouRh :: EP. * Art. iS. /f^ ptiifque *. la tangente en H eft parallele a la corde AE > &partant HQj>. QgEP* Pp, c efta dire que les pe- tics efpaces HQqh,EPpe font toujours egaux entr eux. D ouil fuit que 1 efpace ^H"^ renferme par les perpen- diculaires AQ, >JH[ , & par la portion ^// de la demi- roulette AHT^ eft egal a 1 efpace ^/"^ renferme par les ^ perpendiculaires ^P 3 PE, Scparl arc AE. L efpaccAF.H fera done egal au rectangle / > e ^_moins le double de I eC- pacc circulaire AP E ; c efl a dire au reclangle fait de PE par ^^ plus ou moins le rectangle fait de K.P par 1 arc AE, felon que le point P tombe au deflbus ou au deflus du centre. Et par confequent 1 efpace cherche AEM COROLLAIRE I. . le point P tombe en K , le re dan- gle KP x AE s e vanouit , & le redangle PE * KA devient egal au quarre deKA: d ou Ton voit que 1 efpace AEM eftalors= " af ~" " : ;&. par confequent il eft quarrableab- folumenc &independammentde la quadrature du cercle- COROLLAIRE II. ^J- Si Ton ajoure a 1 efpace AEM Je fe deur AKE , 1 efpace AKE M renferme paries rayons^^T, K E, par 1 arc EM, & par la portion AM de la demi-roulette AMD, fe rrouve(lorfque Je point P tombe au deflus du centred) fc--.-.- - partant fi 1 on prend rP(u} ~+ l " (ce qui rend nul- le la valeur de *"-*-"-<-^ -""-** AE } ? ]. on aura 1 efpace tins INF INI ME NT PETITS. 1. Part. 161 quadrature eft encore independante de celle du cercle. II eft vifible qu entre tousles etpacesAEM&tA KEM, il ne peut y avoir que les deux que 1 onvienc demarquer x done la quadrature foic abiblue. AvERTlSSEMENT. Tout ce que I on vient da demontrer t} I egard des roulettes extcrienres fe doit auffi entendre des interieures , c cfl a. dire de cellcs dont le cercle mobile roule au dedans de I immobile > en obfe>vant que les rayons KB (a), KV (c) devienncnt negatifi de pofitifs quils etoient. C*ejt fourquoi ilfaudra changer AMS les formules precedentes , les Jtgnes des terms s oil a & cfe ren- tontrcnt avec unc dimension impairs. R E M A R QJ E. L ya certaines courbes qui paroiflent avoir un point d inflexion , 6c qui cependant n en ont point ; ce que je crois a propos d expliquer par un exemple, car cela pourroit faire quelque difficultc. Soit la courbe geomecrique NDN , dont la nature eft FIG. exprimee par i equation ^==~ dans laquelle il eft clair 1. Qiie x etant egale a a ; PN (z.) s evanouit. 1. Que x furpaiTant a , la valeur de ^eft pofitive; c qu au contraire lorfqu il eft moindre, elle eft negative. 3. Que lorfque x = V^aa, la valeur de PN eft infinie. D ou 1 on voit que la courbe ^VDT/pafle de part c d autre de fon axe en le coupant en un point D tel que AD =a~, & qu elle a pour afymptote la perpen. diculaire BG menee par le point B tel que AB =-^^aa m Si Ton decrit a preient une autre courbe EDf , en for te qu ayant mene a difcretion la perpenJiculaire M le retlangle faic de I appliquce/ ^Vf par la conftante X 161 ANALYSE foic coujours e gal a 1 elpace correfpondant DPN , il eft vifible qu en nommanc PM,y> & prenant les diffe rences, Ton aura^D x Rm(ady] =NPfn ou 2V/ 7 x />j> r">i^_ ~J> & partant .R0* ^^. />/ ou RM (dx) : : PN . AD. D ou il fuic que la courbe EDF touche 1 a- fymptote^Gprolongee de 1 autre cote de B en un pome JE,& 1 axe^/" au point/); & qu ainil elle doic avoir un point *A-/t. 78. d inflexion en D. Cependant on trouve * -- -- pour Ja valeur du rayon de fa developee , laquelle eft toujours negative, 6c devient egale a \a lorfque le point M. *^rt.Si. tombe en .D.-d ouPon doit conclure* que la courbe qui pafle par tous les points M eft toujours convexe vers 1 axe AP, & qu elle n a pas de point d inflexion en D. Comment done accorder tout cela? En voici le denoue ment. Si Ton prend PM du meme cote que PN, on formera une autre courbe GDH c\u\ (era toute pareiliea l-DF, 6c qui en doit faire partie , puilque (a generation eft la me me. Cela etant amfi , 1 on doit penler que les parties qui compofentla courbe entiere ne font pas EDF^GDH com. me 1 on s etoit imagine, mais bien EDH, GDF qui le rou- chent au point D > car tout s accorde parfairement dans cette derniere fuppofition. Ceci le confirme encore par cet e xemple. FIG. 141. Soit la courbe DMG, qui ait pour equation f== x* -4- aaxx b* ( AP x, PMy). II luit de cette equa tion que la courbe entiere a deux parties EDH, GDF op- pofe es Tune a lautrecommel hyperbole ordinaire, en forte que leur diftance DDou i^D V 2aa -*- zVa*-t- 46+ FIG. 143. Si 1 on fuppofe que^ s evanouifle, la diftance DD s c- vnouira auffi ; &partant les deux parties EDH, GDF fe toucheront au point D: de forte qu on pourroit penfer a prefent que cette courbe a un point d inflexion ou de re- brouffemenc en D , felon qu on imagineroit que les par- DES INFINIMENT PETITS. 1. Part. 163 ties feroient EOF, GD/f ouEVG,HDF. Maisl onfede- tromperoit aifement, en cherchant le rayon de la deve- lopee j car 1 on trouveroit qu il feroic toujours pofitif, & cju il deviendroit egal a ~a dans le point D. On peuc remarquer en paflant, que la quadrature de FIG. 141. 1 efpace DPN depend de celle de 1 hyperbole : ou ( ce qui revient au meme) de la rectification de la parabole ; & que la portion de courhe DMF fatisfait au Probleme propofe par IA. Bernoulli dans le Tome fecond des Sup- plemens des A&es de Leypfic, page 151. Xij ANALYSE SECTION X. NoifveUe maniere de fe fcrvir dn calcul des differences dans les combes geometri^ttes , d ou I on deduit la, A4ethodedeM rs Dcl.cancs & Hudde. DE FINITION I. Fie. 144. C~^O i T une ligne courbe ADS telle que les paralleles 145.146. ^^KMNSi fon diametre AB la rencontrenc en deux points M, N~> & foirentendue la parcie incerceptee MN on /"^devenir infiniment petite. Elle fera nomme e alors la Difference de la coupee AP, ou KM. COR.OLLAIB.E I. RSQJJE la parcie jWJVou 7 ^jdevient infini ment petite j il ell clair que les coupe es AP, AQ^ devien- nent egales cliacunea^^, & que les points AT, Nk reu- niflenc en un point D : en forte que 1 applique e ED eft la plus grande ou la moindre de toutes fes femblables PM , COROLLAIRE II. . \_L eft clair qu entre toutes lescoupees^/ 1 , il n y a que AE qui ait une difference ; parcequ il n y a qu en ce cas ou P^^devienne infiniment petite. COROLLAIRE III. J 9. S i I on nomme les inde terminees AP ou K.M> x , I M ou AK,y ; il eft evident (\\.\e AK (y) demeurant la meme, il doit y avoir deux valeurs differentesde x, f^a- voir KM, KNouAP, AQ^C zft. pourquoi il faut que 1 e- quation qui exprime la nature de la courbe ADB foit de- livre e d mcommenfurables , afin que la memeinconnueA: qui en marque les racines (car on regarde^ commecon- nue) puifle avoir diffe rentes valeurs. Ce qu il faut obfer- ver dans la fuite. DES INF^ KIMENT P EXITS. 1. Pan, i65 PROPOSITION I. Problcmc. J_|A nature de la ccurbe geometriqtie ADB etant don- nee j determiner la plus grande ou la. moindre de fes affli- quees ED. Si Ton prend la difference de 1 e quation qui exprime la nature de la courbe, en rraitant y comme conftante , _ j n n & x comme variable ; il eft clair * qu on formera une nou- Jut velle equation qui aura pour une de fes racines x, une va- leur AE, telle que 1 applique e-EDfera la plus grande ou la moindre de toutes fes femblables. Soit, par e xemple, # -(-_/ axy, done la difference, en traitant x comme variable , 6c y comme conftante , donne ;xxdx=aydx; c partantj = ~. Si Ton fubfti- tue cette valeur a la place de^ dans Pequation a la. courbe x> -t-f= axy ; 1 on aura pour x une valeur AE = jitj/z, telle que 1 appliquee ED fera la plus grande de toutes fes femblables, de meme qu on 1 ade jatrouve art. 48. II eft evident que 1 on determine de meme non feule- ment les points Z), lorfque les applique es ED font per- pendiculaires ou tangentes de la courbe ADB; mais auffi lorfqu elles font obliques fur la courbe , c eft a dire lorf que les points D font des points de rebrouflement de la premiere ou feconde forte. D oii 1 on. voitque cetre nou- velle manie re de confiderer les differences dans les cour- bes ge ometriques eft plus fimple &c moins embarraflante en quelques rencontres, que la * premiere. *Seft. ;. R E M A R QJU E. I 9 I -ON pent remarquer dans les courbes rebroufTan- FIG.I^. tes, que les PM paralleles a AK; les rencontrent en deux points jVf, 0, de meme que les KM paralleles 3.AP. font en M, 2V. r de forte que^/^.v) demeurant la meme,j a deux Xiij ANALYSE differences valeurs PM , PO. C eft pourquoi Ton peut traiter x comme conftante, &y comme variable, en prenant la difference de 1 equation qui exprime la na ture de cette courbe. D ou Ton voit que li Ton traice x &.y comme variables, en prenant cette difference, il faudra que tousles termes qui multiplient dx d uneparr, & tous ceux qui mulripiient dy d une autre part, foienc egaux a zero. Mais il faut bien prendre garde que dx 8c dy marquent ici les differences de deux applique es qui partcnr d un meme point, & non pas (comme ci-devanc Sect.}.) la difference de deux applique es infiniment pro- dies. COROLLAIRE. I9 1 - S apres avoir ordonne 1 e qtiation qui exprime la nature de la courbe dans laquelle il n y a que 1 inconnue x de variable, Ton en prend la difference; il eft clair i. Qu on ne fait autre chofe que de multiplier chaque terme par 1 expofant de la puiilance de x, & par la diffe rence dx , &c le divifer enfuite par x. z. Que cette divi- fion par x, aufli-bien que la multiplication par dx, peuc etre negligee , parcequ elle eft la meme dans tous les ter mes. 3. Que les expofans des puifTances de x font une progreffion arithme tique , done le premier terme eft 1 ex pofant de fa plus grande puiffance , & le dernier eft zero ; car on fuppofequ on ait marque par une etoile les termes qui peuvent manquer dans 1 e quation. Soit par c xemple * * ayx-*-y^ = c. Sil onmultiplie chaque terme par ceux de la progreffion "arithmetique ^, 2,1,0; Ton formera Pe qnation nouvelle^.v ayx = o. ayx + y> = o. D ou Ton tire/ = *~ , de meme que Ton auroit trouve en prenant la difference a la maniere accoutumec. Cclafuppofe, je dis qu au lieude la progreffion arith- DES IKFINI WENT PETI TS. /. Part. me tique j,2,7,o,l onpeutfefervirder.elleautreprogreflion anthme tiquequ on voudra:2-t-j, m-t-z, m-*-s, #M-O, ou m ( Ton defigne parw un nombre quelconque entier ou rom- pu, pofitif, ou negatif ). Car multipliantx 5 * ayx-*-y*= o par x m ,\ on aura V"* *,8cc.=o,dont les termes doivent etre multiplies par ceux de la progreflion z-t-j , m-*-2, w-t-7, m. chacun par fon correfpondant pour en avoir la difference. m-t-2 w-*-7 m. * m-riayx Ce qui donnera w -r^" 1 * m-t- &en divifant par x n \ il vienrawAr m = o, comme i on auroic crouve d abord en mulciplianc /implement J egalite propofee par la progreflion m -+- $ , m -4- i , m -t- / , m. ^m j, la progreffion ferao, j-, 2, / ; c 1 e qua- tion fera 2 *yx // s =- Si m= /, la progreflion lera 2,7,0, i j&i i equation zx y> = o. On peut changer de fignes tous les termes de la pro greflion , c eft a dire qu au lieu de o, z, 2, j , & 2,7,0, 7, Ton peut prendre c, 7, 2, }, & 2, 7, o, 7 j parcequ on ne fait par la que changer de fignes tous les termesde la nouvelle equation qui doit etre cga lee a zero. EC en effer, au lieu de 2ayx $y^=o, 2x 1 y*= o, Ton auroit 2ayx-+- ^=0, 2x*-*-y =o ; ce qui eftlameme chofe. Or il eft vifible que ce que Ton vient de demontrer a 1 egard de cet exemple, s appliquera de meme manie- re a tous les autres. D ou il {hit que fi apres avoir or- donne une equation qui doit avoir deux racines e gales entr elles, Ton en multiplie les rermes par ceux d une progreflion arithmetique arbitraire, Ton formera une nouvelle equation qui renfermera entre fes racines une des deux e gales de la premiere. Par la meme raifon, ii cette nouvelle equation doit avoir encore deux racines cgales, & qu on la multiplie par une progreflion arith- 168 ANALYSE me tique , Ton en formera une troifieme qui aura entre fes racines une des deux egales de la feconde ; & ainfi de fui- te. De forte que fi Ton mulciplie une equation qui doic avoir trois racines egales, parle produitde deux progref- fions aritlime tiques, 1 on en formera une nouvelle qui au ra entre fes racines une des trois egales de la premiere ; 6c de meme fi 1 e quation doit avoir quatre racines egales, il la fauJra multiplier par le produit de trois progreffions aritfametiques; fi cinq , par le produit de quatre, &c. C efr. 14 pre cife menc en quoi confifte la Methods de M. Hudde. PROPOSITION II. Probleme. FIG. 147. 19 j. 13 uNr point donns 1 fur le diamctre AB , OK dx faint danne H far h.\-\ parallels atix applique cs > mener Lt tengcntc THM. Ayanc mene parle point touchant A/1 appIiquce MP^ &nommd ^7", s ; AH, t~, dont 1 une ou 1 autre eft don- nee s & les inconnues AP,x> PM,y- les triangles fem- biables TAH, TPM donnerontj/= - ^ , x ^-^ & mettant ccs valeurs a la place de^> ou de .v dans 1 e- quation donnee , qui exprime la nature de la courbe AMD^ 1 on en formera une nouvelle dans laquellej ou .v ne fe rencontrera plus. Si Ton meneapre fent une lignedroiteT D qui coupe \z. droite AH en G, & la courbe AMD en deux points JV, D, defquels Ton abbaiile les appliquees NQ., D^iileft evi dent que ^exprimanc^/G dans 1 e quation pre cedente,xou y aura deux valeurs^^ AB, ou NQ, DB, lefquelles de- viennent egales entr elles, fcavoir a la cherche e AP ou PM lorfque t exprime^//, c eft a dire lorfquela fecante TDN devient la tangente TM. D ou il fuit que cette equation doit avoir deux racines egales. C eft pourquoi on la multipliera par une progrellion arithme tique ar- bitraire , DES INF IN I MENT P E T I T S. /. Tart. bicraire ; ce que Ton re ite rera , s il eft neceflaire, en mul- tipliant de nouveau cetce meme equation par une anrre progreffion arithme rique quelconque , afin que par la comparaifon des equations qui en re fultent , Ton en pui/Te trouver une qui ne renferme que 1 inconnuex ouy, avec la donne e jou t. L e xemple qui fuk e claircira fuffifarn- ment cetce Me thode. E x E M r L E. I >*4 OOIT ax = yy 1 equation qui exprime la nature de la courbe AMT>. Si 1 on met a la place de x fa valeur ^7-^, 1 on aura tyy, Sic. qui doit avoir deux racines e gales. tyy asy -f- ast = o. f, o, /. tyy * ast = o. C eftpourquoi multipliant par ordre ces termes par ceux de la progreffion aritlime cique i, o , /, 1 on trouvera as~=yy=. ax; & partant 4P (x) = s. D ou Ton voic qu en prenant APAT; c menant 1 appliquee PM, la li- gne TM fera tangente en M. Mais R au lieu de AT (s), c eft AH ( t) qui eft donne e, 1 on multipliera la meme equation^, &c. par cette autre progreffion o, ^,2,& Ton aura la cherche e PM (y) zt. On auroic trouve la meme conftruction en mettanr pour^ fa valeur fLI* dans ax = ^ Car ^ yient ^.^ &c. doncles terme^ multiplies par^r, o, /, donnent xx = ss > o: par confequenc ^T (A;) = s. CoROLLAIRE. I 95- O i 1 on vent a prefent que le point touchantyl/foit donne, & qu il faille trouver lepomtT ou//, danslequel la tangente MT rencontre ie diametre AE ou la paral- lele A H aux appliquees ; il n v a qu a regarder dans la der- nie re equation qui exprime la valeur de 1 inconnue.*- on y p.u rapport a la donnee s ou t, cette derniere comme 1 inconnue, <A- ou y comme connue. Y ANALYSE PROPOSITION III. Probleme. FIG. 14.8. 196. |^ A nature j e f a COU fi, c gtonittrique AFD etant don- nee; determiner fan -point d inflexion F. Ayanc mene le point cherche F 1 appliquee FE avec la tangente FL , par le point si ( origine des x ) la paral- appliquees, & nornme les inconnuesZ^, s, donneront encore / = - , &* =- y t - -, de forte que metrant ces valeurs a la place de y ou x dans 1 e qua- tion a la courbe , Ton en formera une nouvelle dans Ja- quelle^ ou x ne fe rencontrera plus, de meme que dans lapropofition precedente. Si Ton mene a prefent une ligne droite TD qui coupe la droite AK. en H, qui touche la courbe AFD en M, &C la coupe en D, d ou 1 on abaiile les appliquees MP, DJ3: il eft evident 1. Que s exprimant AT; &: ?, AH i Tequa- tion que Ton vient de trouver , doit avoir deux racines * An. 193. egales,f^avoir*chacunea^/ oua/ 7 ^vfelonqu on a fait evanouir y ou x , Sc une autre AB, ou BD. 1. Que s ex- primant AL; Sc t, AK.; le point rouchanc JU fe reunit avec le point d mterfeclion D dans le point cherche F : * An. (,-;. puifque*la tangente LF doit toucher & ccuper la courbe dans le point d inflexion F; Scqu ainfi les valeurs AP^AB de xouPM,Ddey deviennentegalesentr elles, f^avoir 1 uneSc 1 autre a la cherchee^ ou EF. D ouil fuit que cette equation doit avoir trois racines egales. C eftpour- quoi on la multipliera par le produit de deux progref- fions arithmetiques arbitaires 5 ce que Ton re iterera, s il eft neceflliire , en la multipliant de meme par un autre produit de deux progredions arithme tiqnesquelconques, afin que par la comparaifon des equations qui en reful r tent, Ton puifle faire evanouir les inconnues i & A DES INFINIMENT PET ITS. /. Part. 171 E X E M P L E. I97* S o IT ayy = xyy +. aax 1 equation qui exprime la nature de la courbe ^FD. Si Ton met a la place de* fa valeur ^-~ " , on formera 1 equation sf styy atyy^ Sec. sy % styy + aasy aast = o. at I, 0, Z, 2. 3, 2, j, o. jjy> * aasy * = o. qui etant multiplied par ^, 0, ./, o, produit des deux pro- greflions arithmetiques /, 0, /, 2> &/, 2, /, o,don- nej/y |^ j 6c mettant cette valeur dans 1 e quation a la courbe , 1 on trouve 1 inconnue AE (x) = ~a. Ce qui revienca 1 art. 68. AUTRE SOLUTION. 198. (_/ N peut encore refoudre ce Probleme en re- FIG. 149. marquant que du meme point Z ou K on ne peut me- 5 ner qu une leule tangente LF ou KF ; parcequ elle tou- cKeen dehors la partie concave AF, Seen dedans le con- \exsFD -, au lieu que de tout autre point Toulf,pr:s fur AL ou AK. entre A & Z ou A & K, 1 on peut mener deux tangences Tl\4, TD ou H M, HD, 1 une de la partie con cave , Sci autre de la convexe : de forte qu on peut confi- derer le point d mflexion F comme la reunion des deux points touchans M&cD. Si done 1 on fuppofe que^T (s) ou AH(t) foit donne e, & qu on cherche*la valeur de x*An. 194. ou y par rapport a s ou ? ; Ton aura une equation qui aura deux racines AP, AB ou PM, ^Dqui deviennenc egales thacune a lachercfaee^oujF , lorfquej eypri- me. /iSc/, ^>c. C eft pourquoi 1 on multiplier! cette equation par uneprogredionanthinecique arbitraire,&c. Yij <7 : ANALYSE E x E M P L E. 1 99> OOIT commeci-deflus, ayy = xyy*-aax\ Ton aura encore sf styy atyy + aasy -aast^o, quietant mul- tiphe epar la progreffion arithme ticjue^, o, j, - 2, donne - a ay aaat=o > dans laquelle s ne fe rencontre plus, &qui a deux racmes inegales , fc^avoir PM, BD, lorfque ? exprime AH, & deux egales chacune a la chercheeF lorfque > exprime AK. C eft pourquoi multipliam de nouveau cette dernicre e quaripnpar la progreffion arith- niefiqtfe/,2,r, o, ) on aura _y^/ ^/^ = 5 c partant-E^^J = ^~aa. Ce qu il falloit trouver. PROPOSITION IV. Probleme. i- J 1 ZOO. j\^ENER </** />w w AW C hors une ligne cottrZe AMD une fcrfcndiculaire CM a cctte courbe. Ayant mene les perpendiculaires MP, C^Cfur le diame- cre AB, & decric du centre C de 1 intervalle CTkfun cer- cle ; ileftclair qu il touchera la courbe AMDzu point M. Nommanc enfuitelesinconnues^P J xjPyW,j/iCA/ ,rj5c ks connues AK, s j KC, t: 1 on aura PK. ou CE = s x, MEy-*-t;&i a caufe du triangle rectangle MEC,y= t -t-vV/- ss-t-2ix xx,x = s Vrr tt sty ~yy de forte que mettant ces valeurs a la place de y ou x dans 1 equation a la courbe, 1 on en formera une nouvelle dans iaquelle^/ ou x ne fe rencontrera plus. Si Ton decritaprefent du meme centre Cunautre cer- cle qui coupe la courbe en deux points N, D, d ou Ton abaiffe les perpendiculaires WQ^ D ; il eft evident que r exprimant le rayon CWou CD dans 1 equation preceden- re , x ouj aura deux valeurs AQ, AB ou NQ^, DB qui deviennent egales entr eiles,fcavoirala cherche e^T ou PM lorfque r exprime le ray on CM. D ou il fuit que cette equation doit avoir deux racines egales. C eft pourquoi on la multipliera, &c. DES INFINIMENT PETIT s. /. Part. 1 73 E x E M P L E. O o i T ax =yy 1 equation qui exprime la nature delacourbe^^V/D,dans laquelle mettant pour* fa valeur y, 1 on aura as i de forte qu en quarrant chaque membre , Sc ordonnant enfuite 1 equation , Ton trouvera / , &c. qui doit avoir deux racines egales lorfque y exprime la cherchee P M, y * zasyy +- zaaty + a ass = o. -H 2Utl C cft pourquoi on la multiptiera parlaprogreffion arith- metique ^., y, 2, i, o, ce qui donnera ^y/ ^t/ov -t- zaay + 2aat= o, dont la rcfolution fournira pour y la valeur cherchee MP. Si le point donne C tomboit fur le diametre^^i Ton FIG. 151, auroit alors to, Sc il faudroit efFacer par confe quent tous les termes ou t fe rencontre ; ce qui donneroit j.as 2aa?=4yy = 4.ax, en mettantpourj/y fa valeur^-Ar. D ou Ton tireroit x = s ~a\ c eft a dire que fi 1 on prend CP egale a la moitie du parametre , & qu ayant tirel appliquee T JVfperpendiculaire fur AB, 1 on mene la droite C.A/, elle fera perpendiculairefurlacourbe^AfD. COROLLAIB.E. ZOZ. 5 i Ton veut a pre fent que le point JWfoit donne, FIG. 151. Scque Je point C foit celui qu on cherche ; il faudra dans <a derniere equation qui exprime la valeur de^C (s) par rapport a AP (x) ou PM (y) , regarder ces dernieres comme connues, 5c 1 autre commel jnconnue. Y iij 174 ANALYSE DEFINITION II. Si d un rayon quelconque de la developee Ton decric un cercle , il kra nomme cercle baifant. Le point ou ce cercle touche ou baife la courbe, eft appelle point baifant. PROPOSITION V. Problcme. FIG. 153. icj. J_j A nature de la caur&eAMD etant donnee avec un de fes points quelconque M ; trouver le centre Gdu cercle yd la baife en ce point M. Ayantmene lesperpendiculaires MP, C/<fur 1 axe, & nomme les lignes par les memes lettres que dans le Pro- bleme precedent j Ton arrivera a la meme equation dans laquelle il faut obierver que la lettre ,v ou^ , que 1 on y regaroe com me I inconnue, marque ici line grandeur donnee ; &: qu au contraire s, t, que Ton y regarde comme connues, font en effet ici les inconnues aufli bien que r. Cela pofe, il eft clair i. Qt-ie le point cherche C fera fitue fur la perpendiculaire MG a la courbe. z. Qtie Ton pourra toujours de crire un cercle qui touchera la courbe en M , & la coupera au moins en deux points ( dont je fuppofe que le plus proche eft D , d ou 1 on abaiflera la perpendiculaire DB] -, puifquel on pent toujours trouver un cercle qui coupe une ligne courbe quelconque, autre qu un cercle, au moins en quaere points, cque le point touchantvVf n equivaut qu a deux interlections. 3. Que plus Ton centre G approche du point cherche. C, plus auifi le point d mterledion D approche du point tou- chant M: de forte que le point G tombant fur le point *An.-;(>. C, le point D fe reunit avec le point M j puifque* Je cercle dccrit du rayon CM , doit toucher 6c couper la courbe au meme point Af. D ou Ton voit que s expri- ma.ntj4F,&tt, FG , 1 equation doit avoir deux radnes Art. zoo. e gales , fcjavoir* chacune a AP ou PM felon qu on a faic DES INFINIMENT PETIT s. 1. Pttrt. 175 cvanouir y ou x , &: une autre ^^ cm J3D qui devient auflie gale a ^/>ou/>.M lorfque s 6c ? expriment les cher- chees^/c, KC ; & qu ainfi cecce equation doit avoir trois racines egales. E x E M P L E. 10 4 SOIT ax=yy 1 equarion qui exprime la nature de la courbe^JWD, & 1 on trouvera*/, &c. qui etant mul- Mrf. tipliee par <P, j>, ^ 7, 0) pr.oduit des deux progreffions anthmedques^, f }2 , f , o,&c 2 ,j, o, i, 2 donne <f> + . = saaty. aarr H- aatt /, o. 7, 2. o. D ou Ton tire la cherchee KC ou PE(t) - . Si 1 on veut avoir une equation qui exprime la nature delacourbequipatlepar rous les points C, Ton multiplie- ra encorej/ 4 , cc.paro,^,^,j,ff,produic des deux progref- : d ou, en fuppofant pour abreger s ia = u i) Ton tirera y = ^ , & ^/ = ^|^ =; ^z/- ; & partant i6*=27att. D ou il fuit que la courbe qui pafle par tons les points C, eft une feconde parabole cubique, dont le parame tre = ^-, & dontle fommet cfteloigne de celui de la parabole propofee de \a ; parceque u = s \a. Lorfque la pofition des parties de la courbe, voifineidu point donne M, eft entieremcnc feinblable de part & d autre de ce point , comme il arrive lorfque la courburc y eft la plus grande ou la moindre ; il s enfuit que Tune des interfedions du cercle touchant ne peut fe reunir avec le point touchant , que 1 autre ne s y reunifle en il & ANALYSE meme temps : de forte que 1 equation doit avoir alors quatre racines e gales. En effet fi Ton multiplie/, &c. par 2^,6, o t o, o, produit des trois progreffions arithme- tiques^., 3,2,2,0, &c 3, 2,2, o, /, & 2, i, 0, /, 2; Ton aura .2.^ =^o: cequi fait voir que le point M doit com ber fur le fommet^de la parabole, arm que la pofition des parries voifines de la courbe foit femblable depart c d autre. AUTB.E SOLUTION. FIG. 154.. , _ , f"\ , . , iu j- \^f N pent encore relonrlre ce Problcme en le fouvenanc que Ton a demontre- dans 1 artick 76 qu on ne pent mener d point cherche C qu une feule perpen- diculaire CM a la courbe AMD ; au lieu qu il y a une infinite d autres points G fur cecte perpendiculaire MC, d ou Ton peut mener deux perpendiculaires JWG, CD a la courbe. Si done on fuppofe que le point G foit don- *An. 100. ne, c que Ton cherche * la valeur de x on y par rapport aux donne es s & / > il eft vifible que cette equation dok avoir deux racines inegales, fcavoir AP> A Bon PM^BD qui deviennent c ciales entr elleslorfque le point G tombe fur le point cherche C. C eft pourquoi Ton mulripliera cetre equation par uneprogreffion arithmetique quelcon- que, &c. E X E M P L E . *Art. 101. 106. o. 2, JT, o, - I. = o. quietant multiplieeparlaprogreflion arithmetique 2, z t 104. f) donne comme * auparavant t = 2-. C O R O L- DES INFINIMENT P E T r T s. 7. Partis. 177 COROLLAIS.E. 107. \L eft evident qu on pent confiderer ,Ie point FiG.ifj.rj4. baifant comme*Ia reunion d un point touclunt avec un * Art - 10 5- point d interfediondu meme cercle ; ou bien comme *la *An\io^, reunion de deux points touchans de deux cercles diffe- rens Sc concentriques : de meme quele point d inflexion peut cre regarde *comme la reunion d un point touchant *Art. 196. avec un point d interfeftion de la meme droite, ou * com- *Art. ijS. me la reunion de deux points touchans de deux difFc ren. tes droites qui parcent d un meme poinr. PROPOSITION VI. Probleme. 2,o8. _|_ROUVER tine equation qui exprime la nature de FIG. 155. la CAttftique&fGH!i,formeedtmsle quart de ccrcle CAMNB, far Ics niyons reflcchis MH, N L , &c. dant ks incident P M, QN , &c. font parallels a CD. Je remarque, i^. Que fi Tori prolonge les rayons re fle- chis MF, 2VG, qui touchent la cauftique en F t G, jufqu a ce qu ils rencontrent le rayon CE aux points H , Z i Ton aura egale a CH , & NL egale a CZ. Car Tangle CMH = MCH, c de meme Tangle CNL = i. Que d un point donne p fur la cauftique^J ^, Ten ne peut mener qu une feule droice MHqm /bit egale a j au lieu que d un point donne D entre le quart de la cauftique^^^,Ton peut mener deux li- , NL tetles queyV/H CH& NLCL. Car on ne peut mener du point F qu une feule tangente MH; au lieu que du point Z>, on en pent mener deux MH , NL. Ceci bien entendu , Soft propofe de mener d un point donne D la droite MH , en forte qu elle foit egale a la partie CH, qu elle 1 determine fur le rayon CB. Ayant mene MP, DO paralleles a C^, & MS parallele a , foient nommees les donnees CO ou RS, u;OD, ^; AC Z 178 ANALYSE ou CP, a > Biles inconnues CPou MS, x-,PMou CS,y; C o\\MH, r. Le triangle rectangle MSH donnera ?r= -2ry +yy -t- xx : d ou 1 on tire CH (r) = x l - . De plus les triangles femblables MRD, MSffdonns MS (x) ::RD (^y). SH= **. . & parrant f ou CH ^ ^ ?* "*"- / = en mettant pour XJK 27 iy -i-yy fa valeur ^. D ou Ton forme (en nv-iltiplianc ca croix) 1 equation aax aau=2^xy zuyy ; & mecrant pour yy fa valeur/M A-*, il viznt2s^y^^aax -+- aau ?uxx -. quarrant enfuire chaque membre pour oter les incommen- furables, 6c mettant encore pourj/j/ fa valeur aa xx , Ton aura enfin ^.uux* ^faaux* ^aauuxx -\- stf ux -t- #*uu=0. Or il eft clair qne u exprimant CO > & \, OT) J cecte ega- lice doic avoir deux racines incgales , i^avoir C/ 7 , C^. &, qu au concraire exprimant CEj 6: ^, F 5 Cj^de- vient egale a C/ 7 , de forte qu elle a pour lors deux racines egales. C eft pourquoi fi Ton multiplie fes termes par ceux des deux progreffions arichme tiques 4,3,2, /, o, 6c e, /, 2 3 j, -f , I on formera deux e galites nouvelles par le moyen defquelleson trouvera, apres avoir fait evanouir i inconnue AT, cette equation. qui exprime la relation de la coupee CE ( u ) a I appliquee EF ( ^ ) . Ce qu il falloit trouver. On peut determiner le point touchant Fen fe fervant de la Me chode expliquee dans la huitie me Section. Car fi Ton imagine un autre rayon incident pm infinimenc proche de PM j il eft clair que le reflechi mh coupera MH au point cherche F, par lequel ayant tire FE paraK DES INFINIMENT PETIT s. 2. Part. 179 lele zJ>M, Ton nommera CE, } .E/ 1 , ^ C-P, * 5 /W, jc j - i. i /-r TJf-t-iI zwA A: CM, a: & Ion trouvera comme ci-deilus - == 2%. Or il eft vifible que CM, CE, EF demeurent les me- frnes pendant que CP &: /W varient. C eft pourquoi Ton prendra la difference de cetce e quationen traitantrf, 3 ^, comme conftantes, & x,y comme variables ; ce qui don- nera 2ttyxxdx + aauydx aaxxdy ,tauxdy*-2Hx dy = o, dans Jaquelle metcant pour dx fa valeur - ( que Ton trouve en prenant la difference de yy = aa xx) ,&en- fuice pour yy fa valeur aa xx, il vienc enfin CE (* ) x> C=3 - . HA Si Ton fuppofe que la courbe AMB ne foit plus tin quart decercle, mais une autre courbe quelconque qui ait pour rayon de fa de velope e au point Af la droite MC j il eft clair*que fa petite portion Mm peut etre regarde e com- * Art. 76. me un arc de cercle de crit du centre C. D ou il fuit que fi Ton mene par ce centre la perpendiculaire CP fur Je rayon incident PM, & qu ayant pris CE ^ ( CP = *, CM = a), 1 on tire EF parallele a PM s elle ira couper le rayon re fle chi MH au point f, ou il touche la caufti- Si Ton tire par rous les points M, m d une ligne courbe quelconque AMB, des lignesdroitesAfC, mC a un poiac fixe C de fon axe AC, & d autres droites MH, mh termi- ne es par la perpendiculaire CB a 1 axe, en forte que 1 an- giQCAfHMChr, & Cmh=mCh -, & qu il faille trouver fur cbaque MH ]e point^ou elle touche lacourbe^/ AT, form^e par les interfections continuelles de ces droites MH, mh. On trouvera comme auparavant CH=^ xx ~^-^ = ^r d " 1>on cire x! -+"v+ x *yy- uxx = ^ done la difference ( en traicanr a, s^comme conftances, &ix,y comme variables) donne zxydx uxxydx x djr-*- ux^dy t-xxyydy -t- uxyy-Jy uy dx = o> & partanc la cherche e Zij ANALYSE C () = ^ -*V-;+- rr .r . O r la nature de !ali_ 1 xxdx x tl -- ax xyydy donnee, 1 on aura une valeur laquclle e rant fubftituee dans 1 expreflion de C, cette ex- prelTionfera delivree des differences 2t entierement con-. nue, PROPOSITION VII. Probleme. FIG. i$6. 109. J} o I T ,? //>>?,? a ro/Vc inAffinif AO #/ <*/? commencement fixe au faint A ; /o/? entendue tine infinite de fa.raboles ffi Qi CDGgui aycnt four axe commun Lt droite AO, &pourj>ammetreslesdroitcs AB, hdnterceptee s entre le point fixe A., & lenrs fommets B ? C. Os demandela nature de la ligne AFG ^/ toache toutcs ces fafaboles, Je remarque d abord que deux quelconques de cespa- raboles^FJJjCDG fe couperont en un point D fitue en tre la ligne^/ G 6c 1 axe^O ; que AC devenant egal a slB, le point d interfedion D tonibe fur le point touchant F, Ceci bien entendu , Soi: propofe de mener par le point donne T> une pa- rabole qui ait la propriete marquee. Si 1 on mene 1 ap- pliquee DO, 6c qu on nomme les donne es^O, u; OD, z. 5 & 1 inconnue ^^, x; la propriete de la parabole donne- ra AB x 50 ( K.V xv ) = IX) 1 ( ^) ; & ordonnant 1 ega- lite, 1 on aura xx ax -*-sg = o. Or il eft evident que exprimanr^Oj &?, OD > cette egalite a deux racines inegales,fcavoir^.5, C^:&qu au contrairewexprimant AE 5Sc^, F>^Cdevientegalea;^^, c eftadirequ elle a pour lors deux racines egales. C eft pourquoi on la multipliers par la progrefiion arithme tique /, a, /: ce qui donne x = ^ & fubftituant cette valeur a la place de x, il vient 1 equation = 2^ qui doit exprimer la nature de la ligne AIG. D ou Ton voitque^/"(? eft une ligne droite faifant avec AO Tangle FAO tel que,^ eft eft double de F. DESINFINIMENT PETlTS. 7. Part. iSl Si Ton veuc refoudre cette queftion en general , de quelque degre que puifTcnt etre les paraboles BF~D, CDG j on fe fervira de la Me thode expliquee dans la Section huiticme, en cecte forte. Nommanc s?E, u ; El, ^ AB^ x 5 Ton aura iT=~x m x n = ^"*" qui exprime en general la nature de la parabole BF, dont la difference donne ( en traitanc & ^_ comme conftances , & x com me \3-ria.- bles) vifant par u x m - l dxx x" 1 , il vienc mx -*-nu nx = o : d oii Ton tire x = u -. c partanc x m p* n * * =7aqpT; Mertantdonccesvaleursa la place de x, 8c de x dans 1 equation gene rale ; 6c faifant ( pour abreger) = r, 1 on aura ^= D oii Ton voit que la ligne ^^G eft toujours droite, fi compofees que puiffent etre les paraboles, n y ayant que la raifon de AE a EF qui change. On voit cLtircment far ce que fan vient dtexpliquer dans cette Section , de qudle maniere I 1 on doit fe fervir de la Me thode de M" Defcartes & Hudde/tfKr refoudre ces fortes de qticflions lorfque les Courses font Geometriques. Mais I on voit aufli en memo temps que/le n eft fas comparable a cclle de jVf. Leibnits, que j attache ficxpliquer a fond dans c e Traite : fuifque cette dernicre donne des resolutions generates ou I au- tre n enfournit que de pjrticulieres , qu elle s etend aux lignes tranfcendantes , & qti il ri eft faint neccffaire d uterles incom- men fumbles: ce qui feroit tres fouventimpraticable, F I N. A PARIS, del linprimeric dej. Qi illAF, Imp. Jur. Lib. deJ Unil . PRIVILEGE DV ROY. LOUIS par la grace de Dieu , Roy de France & de Navarre : A nos amez & feaox Coiileillers les Gens tenansnos Cours deParlement, Mattresdes Re- quctes ordinaires de nocrc Hotel , grand Confeil, Prevoc de Paris, Baillifs , Se- nek-li ux . lours Lieutenans Civils &: autres nos Jufticiers qu il appartiendra , SALUT. Notre bien amc FRANCOIS MONTALANT, Libraire a Paris, Nous ayant rait remontrer qu il avoit acquis un Ourrage intitule : Analyfe des In- fnirnent , cti j , lequel 1 il defireroit faire imprimei & donner au Public ; mais comme il ne le pcut fain.- fans s cngager a une tres grande depenfe, il Nous atiroit en confequenee fait trcs humblement fupplicr de lui accorder nos Let- tres de Privilege furce neceffaires ; A ces caufes voulan: favorablement traiter ledic Bxpofant, 8: reconnoitre fon zele a Nous procurer un Ouvrage auffi utile pom le Public ; & voulant lededommager des grands frais qu il eft oblige de faire pour 1 impreffion dudit Ouvrage, Nous lui,avons permis & permer- tons par ces Preterites de faire imprimer le.iit Anal y fe des Jnfiniment Pctits en rels Volumes, forme, marge, caraftere , conjomtemem ou fcparcment , & au- tant de fois que ton lui femblera , & de le vendre, faire vendre & dcbiter par rout noire Royaume pendant le temps de douze annees confecutives, acom- pteniu jour de la date defdites Prefentes : Faifons defenfes a toutesperfonnes, de quclquequalite & condition qu elies foient, d en introduire d impreflionetran- gere dans aucun lieu de notrc obeiflance ; & a tous Imprimeurs , Libraires Sc uutres , d imprimcr , faire imprimer, vendre, faire vendre, debiter , ni contre- faireledit Analyfe des Infiniment Petits en tout ni en panic, d en faire aucuns Extraits fous quelque prcteite quc ce (bit d augmentation, correftion, chan- gcment de titres ou autrement , fans le conlcntemcnr par ecrit dudit Expofant oudeceuxqui au;o;u droitde lui,apeine de confifcation des Exemplaires con- trefaits , de iix mille hvres d amendc centre chacun des contrevenans, dont un tiers a Nous, un tiers a 1 Hotel Dieu de Paris, & 1 autre tiers audit Eipofant, &de tousdepens , dommages & intercfts ; a la charge queces Prefentes feront enregillrccs tout au long fur le Rcgiftre dc la Communaute des Imprimeurs Libraires de Paris ; & ce dans trois mois dela daue d icelles ; que rimpreffion dudit Livrc ferafaite dans notre Royaume & non ailleurs , en bon papier, &en beaux carafteres , conformcment aux Rcglcmcns de la Libraiiie ; & qu arant que de 1 expofer en vente il enfcra mis tleux Excmplaires dans notre BibliotJie- que publicjue, un danscellede notre Chateau du Louvre, & un dans celle dc notre tres-cher& fcal Chevalier ChanceUer de Frr.nc.e le Sicur Voyfin , Com- rnandeur de nos Ordres , le tout a pjine de nullite des Prefentes : Du contenu defquelles vous mandons 5c enjoignons de faire jc uir i Expofant , ou fes ayans caufepleinement & paifiblement , fans fouffrir qu il leur loit fait aucun trouble ou empechement. Voulonsque la copie oefdites Prefentes qui fera imprimce au commencement ou a la nn dudit Livre (bit tenue pout duement lignifice , & qu anx copies collationnees par Tun de nos aniez & feaux Confeillers & Se cretaires foi (bit ajoiitee comme a 1 Original. Commandons au premier notre Huiffier ou Sergent de faire pourl exccurion d icelles tous Aftes requis & necef- laires, fans demander autre permiffion, 5c nonobftant clameur de Haro, Charte Normande & autres Lettres a ce contraires : Car tel eft notre plaifir. Donne a Verfailles le douzieme jour Ju mois de Dccembre, 1 an de grace mil fcpt cens quatorze , & dc notrc Rcgne le loixante- douzieme. Par le Roy en fou Confeil, FOUQJUET. Regiftre fur le Regiftre n . V de I A Communttute des Libraires & Imprimeurs de farts page 906. . IIJ4 conformementttux Reglemens, &&gt; notcimmeF.t a I A.r- reji An 15 Aoajl 170;. fait a Faris le itfanvier 171;. ROBUSTEL, Syndic. V J CE n ft> T